Lista derivada e integrais

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2). Uma pedra atirada verticalmente para cima com velocidade de 24 m/s atinge uma altura de h = 24 t - 0,8 t2 metros em t segundos.

(a) Determine a velocidade e a aceleração da pedra no instante t.

(b) Qual a altura máxima atingida pela pedra?

(c) Qual a velocidade da pedra quando ela está a 55 m do solo na subida? E na descida?

(d) Quando a pedra atingirá o solo novamente?

(e) Faça o gráfico do movimento da pedra.

3)Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão

v(t) = [pic 9] ( t em segundos e v em metros por segundo). Encontre a sua aceleração no instante t = 8s.

- Outros Problemas de taxas de variação:

1)Uma torneira lança água em um tanque. O volume V (litros) de água no tanque, no instante t (minutos) é dado por V(t) = 3t3 + 2t. . Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante t = 4min?

2) Suponhamos que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será

P(x) = x2 + 4x + 3000 habitantes. Qual é a taxa de variação da população daqui a 3 meses?

3) Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por N(t) = 10t2 + 30t + 15000 , determine:

a) o número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade.

b) a taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos.

4) Ao ser inflado um balão esférico, seu raio r aumenta em função do tempo t. Se V é o volume do balão, estabeleça uma fórmula para a variação instantânea do volume em função do tempo.

IV – Problemas de Taxas Relacionadas

- Um copo de papel tem a forma de um cone com 10 cm de altura e 3 cm de raio (no topo). Se for colocada água dentro do copo a uma taxa de 2 cm 3/s, com que rapidez o nível da água se elevará quando ela tiver 5 cm de profundidade?

- Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada durante seu movimento, no chão e na parede vertical. Em um instante t 0, o seu topo dista 3,6m do chão e sua base afasta- se da parede vertical à taxa de 1m/s. Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0.

V- Problemas de Otimização (Máximos e Mínimos):

Dentre as importantes aplicações de máximos e mínimos destacamos os problemas que têm na sua estrutura o valor máximo ou mínimo de algumas variáveis tais como: área, volume, força, potência, tempo, lucro ou custo. Na prática, estes problemas são bastante abrangentes, que vão desde problemas geométricos, até problemas que dizem respeito à física, engenharia, biologia, negócios e economia.

- Uma empresa possui a Receita e o Custo dados pelas equações [pic 10] Para o intervalo de produção de 0 a 6 unidades, determine:

- A produção para que a Receita seja máxima;

- Os intervalos em que a Receita cresce ou decresce;

- A produção para que o Lucro seja máximo.

2) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2. Sabendo que:

a) o custo para cercar as laterais é de R$ 300,00 por metro linear;

b) o custo para cercar a frente e o fundo é de R$ 500,00 por metro linear.

Determine as dimensões do terreno de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor

possível. Determine também o custo mínimo.

3) Uma empresa quer fabricar caixas sem tampa. Cada caixa é construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm por 50 cm. Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindo x cm é retirado de cada canto da folha de papelão. Dependendo do valor de x, diferentes caixas (com diferentes volumes) podem ser confeccionadas. O problema é determinar o valor