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T(u+v) = (x12+2x1 x2+ x22+y12+2y1 y2+ y22, x1+x2)

T(u+v) ≠ T(u) + T(v) Não Linear

ii) T(αu) = T(αx1, αy1)

T(αu) = (αx12+αy12, αx1)

T(αu) = α(x12+αy12, x1)

T(αu) = αT(u)

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d) T: R2 R: T(x,y) = (x.y)[pic 4]

u = (x1, y1)

v = (x2, y2)

i) T(u+v) = T[(x1, y1) + (x2, y2)]

T(u+v) = T(x1+x2, y1+y2)

T(u+v) = [(x1+ y1)(x2+y2)]

T(u+v) = [(x1 x2 + x1 y2 + y1x2 + y1 y2)]

T(u+v) ≠ T(u) + T(v) Não Linear

ii) T(αu) = T(αx1, αy1)

T(αu) = α(x1, αy1)

T(αu) = αT(u)

2.º Quesito

V = α1v1+α2v2+α3v3

(x, y, z) = α1(1, -1, 0)+ α2(0, 1, 1)+ α3(0, 0, 1)

α1 = x

-α1+α2 = y -x+α2 = y α2 = x+y

α2+α3 = z x+y+α3 = z α3 = -x-y+z

(x, y, z) = x (1, -1, 0) + (x+y) (0, 1, 1) + (-x-y+z) (0, 0, 1)

T(x, y, z) = x T(1, -1, 0) + (x+y) T(0, 1, 1) + (-x-y+z) T(0, 0, 1)

T(x, y, z) = x (1, 1) + (x+y) (2, 2) + (-x-y+z) (3, 3)

T(x, y, z) = (x+2x+2y-3x-3y+3z), (x+2x+2y-3x-3y+3z)

T(x, y, z) = (-y+3z), (-y+3z)

T(1, 0, 0) = (-y+3z), -y+3z)

T(1, 0, 0) = (-0+3x0), -0+3x0)

T(1, 0, 0) = (0, 0)

T(0, 1, 0) = (-y+3z), -y+3z)

T(0, 1, 0) = (-1+3x0), -1+3x0)

T(0, 1, 0) = (-1, -1)

3.º Quesito

2x+y, 4x+2y = (0, 0)

2x+y = 0 y = -2x

4x + 2y = 0

Pertencem ao N(T):

N(T) = {(x, -2x) / x ∈ R}

N(T) = [(1, -2)]

Multiplicando tal vetor do Núcleo da T.L. por λ = -3, temos ainda:

-3 (1, -2) = (-3, 6)

letras (a) e (c)

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Pertencem a Im(T):

2x+y = a

4x+2y = b b=2a

Im(T) = {(a, 2a); a ∈ R}

Im(T) = [(1, 2)]

Multiplicando tal vetor gerador da Imagem da T.L. por λ = -1/2, temos:

-1/2 (2, 4)

= (-1/2, -1)

4.º Quesito

(x, y) = a(-2, 3) + b(1, -2)

-2a+b = x -2a+b = x a = -y-2x

3a-2b = y L2= L2+2L1 -a+0 = 2x+y b = -2y-3x

a e b são identidades dos vetores

Substituir na Equação:

(x, y) = (-y-2x) (-2, 3) + (-2y-3x) (1, -2)

Propriedade da Transformação Linear:

T(a1v1 + a1v1) = a1T(v1) + a2T(v2)

A) T(x,y) = (-y-2x) T(-2, 3) + (-2y-3x) T(1, -2)

T(x,y) = (-y-2x) (-1, 0, 1) + (-2y-3x) (0, -1, 0)

T(x,y) = (y+2x, 0, -y-2x), (0, 2y+3x, 0)

T(x,y) = (y+2x, 2y+3x, -y-2x)

B)

T(x,y) = (0, 0, 0)

(y+2x, 2y+3x, -y-2x) = (0, 0, 0)

y+2x = 0 2x+y = 0 2x+y = 0 y = 0

2y+3x = 0 3x+2y = 0 L2=L2-2L1 x = 0

-y-2x = 0 L3 = L3+L1 0 + 0 = 0

Logo,

N(T) = {(0, 0)}

Im(T)

T(x,y) = (a, b, c)

2x+y = a 2x+y = a 2x+y = a

3x+2y = b 3x+2y = b L2=L2-2L1 -x+0 = b-2a

-2x-y = c L3=L3+L1 0 – 0 = c+a a = -c x = 2a-b

Im(T) = {(a, b, -a) / a,b ∈ R}

C) T é injetora sse, N(T) = {0}, como N(T) = {(0, 0)}, T é injetora

T:V W

T é sobrejetora se para todo w ∈ W existe pelo menos um v ∈ V tal que T(V)=W

O contradomínio de T é o R3 e a Im(T) = {(a, b, -a) / a,b ∈ R}, portanto de dim=2. Assim T não é sobrejetora.

5° Quesito

N (T) = {( 1, 2, -1), (1, -1 ,0)}

V = a1V1+ a2 V2+ a2+ a3V3

(x, y, z) = a1(1, 2, -1) + a2(1, -1, 0) + a3(0, 0, 1)

a1+ a2+0 = x a1 + a2 = x x+y+a2 = x[pic 5][pic 6]

2 a1–a2+0 = y 2a1–a2 = y 3[pic 7]

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