TRANSPORTE DE GAS NATURAL EN TUBOS UNIDOS POR MEDIO DE BRIDAS USANDO DERIVADAS PARCIALES

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¿ES VIABLE IMPLEMENTAR UN TRANSPORTE DE GAS NATURAL EN TUBOS UNIDOS POR MEDIO DE BRIDAS?

- MARCO TEÓRICO

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

[pic 2]

Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.[pic 3]

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

La transmisión de calor por conducción puede realizarse en cualquiera de los tres estados de la materia: sólido líquido y gaseoso. Para explicar el mecanismo físico de la conducción, pensemos en un gas en el que existe un gradiente de temperaturas y no hay movimiento global. El gas ocupa todo el espacio entre las dos superficies. Asociamos la temperatura del gas en cualquier punto con la energía que poseen sus moléculas en las proximidades de dicho punto. Cuando las moléculas vecinas chocan ocurre una transferencia de energía desde las moléculas más energéticas a las menos energéticas. En presencia de un gradiente de temperaturas la transferencia de calor por conducción debe ocurrir en el sentido de la temperatura decreciente.

En los líquidos la situación es muy similar que en los gases, aunque las moléculas están menos espaciadas y las interacciones son más fuertes y frecuentes.

En los sólidos la conducción se produce por cesión de energía entre partículas contiguas (vibraciones reticulares). En un sólido no conductor la transferencia de energía ocurre solamente por estas vibraciones reticulares, en cambio en los sólidos conductores se debe también al movimiento de traslación de los electrones libres.

La conducción de calor bidimensional en estado estable es la esencia de solución de nuestro problema. En la figura vemos como el flujo de calor se comporta como un vector

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En muchos casos se necesita considerar la transferencia de calor en dos dimensiones, la solución de este tipo de problema requiere la solución de una ecuación de esta forma:

[pic 5]

Esta ecuación se puede resolver analítica (solución exacta), gráfica o numéricamente (soluciones aproximadas). Los métodos analíticos requieren series y funciones matemáticamente complicadas, los métodos numéricos proporcionan resultados aproximados en puntos discretos de un volumen de control. A menudo son el único medio para resolver un problema pues se adaptan a geometrías complejas y a todo tipo de Condiciones de Frontera. En este trabajo nos vamos a concentrar en el método numérico conocido como Diferencias Finitas (FiniteDifferenceMethod).

La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier. Establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección. Para un flujo unidimensional de calor se tiene:

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La convección térmica es una de las tres formas de transferencia de calor y se caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (aire y agua) que transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce únicamente por medio de materiales fluidos. Estos al calentarse, aumentan de volumen y, por lo tanto, su densidad disminuye y ascienden desplazando el fluido que se encuentra en la parte superior y que está a menor temperatura. Lo que se llama convección en sí, es el transporte de calor por medio de las corrientes ascendente y descendente del fluido.

La transferencia de calor implica el transporte de calor en un volumen y la mezcla de elementos macroscópicos de porciones calientes y frías de un gas o un líquido. Se incluye también el intercambio de energía entre una superficie sólida y un fluido o por medio de una bomba, un ventilador u otro dispositivo mecánico (convección mecánica, forzada o asistida).

En la transferencia de calor libre o natural un fluido es más caliente o más frío y en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido. La transferencia de calor por convección se expresa con la Ley del Enfriamiento de Newton:

[pic 7]

Ahora, el método de diferencias finitas es usado, ya que, con frecuencia los problemas bidimensionales implican geometrías o condiciones fronteras que no son tan cómodas para ser resueltos por medio de los métodos grafico o numérico.

En contraste con una solución analítica, que permite la determinación de la temperatura en cualquier punto de interés en un medio, una solución numérica como el método de diferencias finitas, permite determinar la temperatura solo en puntos discretos. El primer paso en cualquier análisis numérico debe ser, por tanto, seleccionar estos puntos. Esto se hace al subdividir la superficie estudiada en un número de pequeñas regiones y asignar a cada una un punto de referencia en su centro. El punto de referencia se denomina nodo o punto nodal y el agregado de todos estos nodos a lo largo y ancho del cuerpo en cuestión se llama Red Nodal, en la siguiente figura se puede ver como se caracteriza el cuerpo a través de una grilla en x y en y:

[pic 8]

La precisión deseada en los cálculos depende del tamaño y numero de nodos, si el numero es grande (malla fina) es posible obtener resultados extremadamente precisos.

Una ecuación de diferencias finitas adecuada para los nodos interiores de un sistema bidimensional se infiere directamente a partir de la ecuación de conducción de calor bidimensional en estado estable. Considerando la segunda