Paradigmas de Linguagens

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- Os dois exemplos acima, sugerem que, para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, que, sempre que 0 não pertence a S, S não é espaço vetorial de V. Esse fato é sempre útil para se detectar que um subconjunto S não é subespaço vetorial.

- No entanto, não pense que só pelo fato de 0 S, o subconjunto S será um espaço vetorial. Por exemplo:[pic 76]

S = ); observe que nesse subconjunto, (0,0) S e que para os vetores = (3,3) e = (-2,2) de S, que não pertence a S, o que mostra não ser S subespaço vetorial de .[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

Exemplo 2:

Sejam V = e S = , isto é, S é o conjunto dos vetores do que tem a terceira componente nula.[pic 84][pic 85][pic 86]

Sendo tem-se:[pic 87]

a) , pois a terceira componente de é nula.[pic 88][pic 89]

b) , pois a terceira componente de é nula.[pic 90][pic 91]

Logo, S é um subespaço vetorial de .[pic 92]

Exemplo 3:

Sejam V = e S = [pic 93][pic 94]

Sendo implica 2x1 + 3y1 – 4z1 = 0 implica 2x2 + 3y2 – 4z2 = 0 tem-se:[pic 95][pic 96]

a) Somando, membro a membro, as duas igualdades temos [pic 97]

Essa igualdade mostra que pois as coordenadas de satisfazem a equação .[pic 98][pic 99][pic 100]

b) pois ou [pic 101][pic 102][pic 103]

O que demonstra que as componentes de satisfazem a equação .[pic 104][pic 105]

Logo, S é um subespaço vetorial de . Esse subespaço representa um plano passando pela origem do sistema.[pic 106]

Exemplo 4:

Sejam V = M2 = { e S = {, isto é, S é o conjunto de matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos da segunda coluna são nulos.[pic 107][pic 108]

Para quaisquer , e , temos:[pic 109][pic 110][pic 111]

a)[pic 112]

b) [pic 113]

Logo, S é um subespaço vetorial de M2.