ATPS DE CALCULO 3

...

2ª. [pic 15], ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

3ª. [pic 16], ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

Integração por substituição

Seja expressão [pic 17].

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou [pic 18], ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

[pic 19],

admitindo que se conhece [pic 20].

Etapa 1

Passo 2 (Equipe)

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫(aᶺ3/3+3/aᶺ3+3/a)da ?

- F(a) = 12aᶺ4 - 3aᶺ(-2)/2 + ln|3a|+C

- F(a) = aᶺ4/12 - 3/2aᶺ2 + 3ln|a|+C

- F(a) = aᶺ4/12 + 2/3aᶺ2 – 3ln|a|+C

- F(a) = 12aᶺ4 + 3/2aᶺ(-2) + ln|a|+C

- F(a) = aᶺ4 + 3/2aᶺ2 + 3ln|a|+C

Resposta: ∫(aᶺ3 + 3*aᶺ(-3) + 3/a) da ; logo, aᶺ4/12 – 3aᶺ(-2)/(-2) + 3ln|a|+C simplificando esta expressão ficaria assim: aᶺ4/12 - 3/2aᶺ2 + 3ln|a|+C então teremos a alternativa correta (b).

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C’(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

- C(q) = 10.000 + 1.000q + 25q²

- C(q) = 10.000 + 25q + 1.000q²

- C(q) = 10.000q²

- C(q) = 10.000 + 25q²

- C(q) = 10.000q + q² + q³

Resposta: Logo temos C’(q) = 1.000 + 50(q) então teremos a seguinte integral ∫1.000 + 50q dq, logo; 1.000q + 50q²/2 + C, simplificando ficaria desse modo 1.000q + 25q² + C. Então a alternativa correta é a alternativa (a)

Desafio C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicío de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)= 16,1 * e ^ 0,07. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida 1992 e 1994?

- 56,43 bilhões de barris de petróleo

- 48,78 bilhões de barris de petróleo

- 39,76 bilhões de barris de petróleo

- 26,54 bilhões de barris de petróleo

- Nenhuma das alternativas

Resposta: u = 0.07 * t ; logo temos du = 0,07 dt => 14,29 du = dt

** ** **[pic 21][pic 22]

14,29*16,1 e^u du => 230 e^u => = 230*e^0,07*t [pic 23]

* * *

4[pic 24]

= 230 * e ^ 0,07 * 4 – (230 *e ^ 0,07*2)

2

304,32 – (264,56) = 39,76

A alternativa correta é a alternativa (C).

Desafio D

A área sob a curva y = eᶺ(x/2) de x = -3 a x = 2 é dada por:

- 4,99

- 3,22

- 6,88

- 1,11

- 2,22

Resposta: 2

eᶺ (x/2) [pic 25]

-3

U = x/2

Du = ½ dx => 2 du = dx

** ** ** [pic 26]

[pic 27]* eᶺu (2)du => 2 * [pic 28]* eᶺu du => * 2* eᶺu = >

2[pic 29]

-3 = 2*eᶺ(x/2) – (2* eᶺ(2/2)-(2*eᶺ(-3/2)) = 5,43 – (0,44) = 4,99

Portanto a alternativa correta é a alternativa (a).

PASSO 3

Para o Desafio A:

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi a alternativa (b) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com integral indefinida aprendido em aula, no desafio A do passo anterior mostra com clareza as passagens matemáticas utilizadas, assim chegando na resposta exata.

Para o Desafio B:

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem