Algebra Linear em Engenharia

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[pic 29]

Observe que –A, matriz oposto da matriz A, é obtida trocando-se os sinais de todos os elementos de A.

Exemplos:

- [pic 30]

- [pic 31]

- IGUALDADE DE MATRIZES

Se duas matrizes A e B forem do mesmo tipo m x n, diremos que um elemento de B é o correspondente de um elemento de A quando ele ocupar, na matriz B, a mesma posição que o outro ocupa na matriz A.

Por exemplo, sendo

[pic 32]

são elementos correspondentes em A e B:

[pic 33]

Assim, são elementos correspondentes em duas matrizes do mesmo tipo aqueles que possuem o mesmo índice. Diremos que duas matrizes são iguais quando forem do mesmo tipo e tiverem todos os elementos correspondentes iguais.

Sendo temos:[pic 34]

[pic 35]

Exemplos:

- Ou seja Matriz A=B. [pic 36]

- Determine x e y para que s matrizes A e B sejam iguais, sendo:

[pic 37]

Solução:

[pic 38]

[pic 39]

- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

- Procedimento

A adição ou a subtração de duas matrizes, A e B, do mesmo tipo é efetuada adicionando-se ou subtraindo-se, respectivamente, os seus elementos correspondentes.

De modo geral, se temos:[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Exemplos:

a) Adição:

Sendo temos: [pic 44]

Solução:

[pic 45]

b) Subtração:

Sendo temos: [pic 46]

Solução:

[pic 47]

[pic 48]

- Propriedades da Soma

Para matrizes A, B e C, de mesmo tipo m x n, valem as propriedades:

Comutativa: A+B = B+A Elemento neutro: A+0=A

Associativa: (A+B)+C = A+(B+C) Elemento oposto: A+(-A)=0

Observação: Neste caso, 0 representa a matriz nula do tipo m x n.

Exemplos:

a) Sendo Calcule: A+ B e B+A[pic 49]

Solução:

[pic 50]

[pic 51]

Logo se verifica que: A+B = B+A (Propriedade comutativa)

b) Sendo Calcule: (A+B)+C e (B+C)+A.[pic 52]

Solução:

[pic 53]

[pic 54]

Logo se verifica que: (A+B)+C = (B+C)+A (Propriedade Associativa).

- MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

- Procedimento

Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo.

Dada uma matriz e um número real k, chama-se produto de k por A a matriz onde [pic 55][pic 56][pic 57]

B = k.A → com [pic 58][pic 59]

Observação: Se A é uma matriz e k uma escalar, então o produto kA é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por k. A matriz kA é chamada multiplico escalar de A.

Exemplos:

a) Sendo Determine : -2A . [pic 60]

Solução:

[pic 61]

b) Sendo Determine : B. [pic 62][pic 63]

Solução:

[pic 64]

- MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

- Procedimento

Na multiplicação de matrizes, devemos “multiplicar linha por coluna”, ou seja, multiplicamos o 1° número da linha pelo 1° número da coluna, o 2° número da linha pelo 2° numero da coluna, etc., então a quantidade de colunas A deve ser igual á quantidade de linhas de B. A matriz produto C terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.

[pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 65]

[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

Generalizando, dizemos que dada uma matriz se e uma matriz , denomina-se produto de A por B a matriz tal que o elemento é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

[pic 80]

Considere as matrizes e a matriz C = A . B[pic 81]

→ A . B = C [pic 82]

Exemplos:

a) Sendo Determine A x B.[pic 83][pic 84]

Solução: Como A é 2x3 e B é 3x1 podemos calcular AxB que será 2x1.

= [pic 85][pic 86]

b) Sendo , Determine A x B. [pic 87]

Solução: Como A é 1x3 e B é 3x1 podemos calcular AxB