Transformações Lineares: Autovalores e Autovetores

...

Exemplo: Seja o operador linear definido por . Encontre a representação matricial de F em relação à base .[pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

Resolvendo o sistema obtemos . Logo .[pic 41][pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Resolvendo o sistema obtemos . Logo .[pic 45][pic 46]

[pic 47]

1.4. Matriz Mudança de Base

Para a escolha de outra base na representação matricial temos que:

Seja P uma matriz de mudança de base de uma base S para uma base S’ em um espaço vetorial V. Então, para qualquer operador linear T em V,

[pic 48]

(LIPSCHUTZ, 1994, p. 494)

Expressando assim que A é uma matriz que representa T em uma base S, então é a matriz que representa T em uma nova base S’, onde P constitui a matriz mudança de base S para S’.[pic 49]

Exemplo: Consideremos a seguinte base para , e consideremos o operador linear F em definido por .[pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

Representando a mudança de base P de E para S:

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Então: é a representação matricial de F em relação à base usual E. [pic 57]

[pic 58]

É a representação de F em relação à base S.

1.5. Domínio, Núcleo e Imagem

O núcleo e imagem fornecem informações importantes sobre a transformação linear e são, respectivamente, subespaços do seu domínio e contradomínio.

Seja uma transformação linear , núcleo é o conjunto de vetores que são transformados por T em 0 de W, sendo:[pic 59][pic 60]

[pic 61]

O núcleo, ou Kernel[1], de T é o subconjunto de V definido por:

[pic 62]

A imagem de T, denotada por im(T), é o conjunto de todos os vetores de W que são imagens de vetores V através de T, sendo:

[pic 63][pic 64]

Exemplo: Seja definida por . Determine o núcleo e a imagem da TL. [pic 65][pic 66]

Núcleo: Devemos ter , logo:[pic 67]

[pic 68]

e, uma base para o núcleo pode ser .[pic 69][pic 70]

Imagem: . Seja temos:[pic 71][pic 72]

[pic 73]

Logo, e, uma base .[pic 74][pic 75]

1.6. Teorema da Dimensão

O teorema da dimensão relaciona a dimensão do núcleo com a dimensão da imagem de uma transformação linear , quando V possui uma dimensão finita. [pic 76]

[pic 77]

Caso um dos espaços da transformação linear apresente dimensão infinita, um de seus subespaços também deverá apresentar dimensão infinita. [pic 78]

Exemplo: Dada a transformação linear onde . Determinar uma base e a dimensão de Ker(T) e Im(T).[pic 79][pic 80]

Núcleo: [pic 81]

[pic 82]

Logo, , portanto , e base do núcleo é o conjunto vazio.[pic 83][pic 84]

Imagem: Para , , . [pic 85][pic 86][pic 87]

[pic 88]

Considerando que a imagem são vetores LI, eles formam uma base de Im(T) e [pic 89]

AUTOVALORES E AUTOVETORES

2.1. Definição

Autovalor e autovetor estuda a existência de vetores não nulos v, tais que o valor de uma matriz A.v seja múltiplo de v.

Considerando uma transformação linear onde V é um espaço vetorial qualquer, um vetor não nulo em V é chamado de autovetor. [pic 90]

[pic 91]

O escalar é denominado autovalor. [pic 92]

Considere A uma matriz n x n. Um escalar é chamado de autovalor de A se existe um vetor não nulo x tal que Ax = x. Tal vetor é chamado de um autovetor de A correspondente a . (POOLE, 2004, p. 233)[pic 93][pic 94]

Autovalores e autovetores também são denominados Eigenvalue[2].

Exemplo: Mostre que é um autovetor de e encontre o autovalor correspondente. [pic 95][pic 96]

[pic 97]

x é um autovetor de A, que corresponde ao autovalor 4.

2.2. Cálculo dos autovalores e autovetores

Vimos que em uma transformação linear , . Onde é o autovalor (escalar) e v é autovetor (sendo ). Temos que:[pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

e , ao igualar as equações:[pic 102][pic 103]

[pic 104][pic 105]

Onde A n x n, e v = 0 é a solução trivial.

De forma que a equação possua uma solução além da trivial, para , é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero.[pic 106]

[pic 107]

A equação gerará um polinômio de grau n, designado polinômio característico. As raízes do polinômio serão os autovalores da matriz A. Para encontrar o autovetor, bastará substituir na equação original o valor do autovalor encontrado.

Exemplo: