O Autovalores a Autovetores

...

- 5λ – 6 [pic 45]

raízes λ1 = 6, λ2 = -1[pic 46]

P(λ) = (λ – 6).(λ – 1) polinômio característico[pic 47]

2- MÉTODO DE LAVERRIER-FADDEEV

Faddeev introduziu uma melhoria no método de Laverrier, que simplificava os cálculos dos coeficientes do polinômio característico e obtém, em alguns casos, os auto vetores de [pic 48].

Primeiramente definimos uma sequência de matrizes: A1, A2, ... ,An , do seguinte modo:

A1 = A , q1 = trA1 , B1 = A1 − q1I ;[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Propriedades da sequência de matrizes: [pic 52] :

- - Os termos [pic 53] obtidos na sequência são os coeficientes do polinômio característico , ou seja:

[pic 54]

A prova de que [pic 55] será efetuada por indução. Assumindo que [pic 56] , temos que [pic 57] , e assumindo também que [pic 58]

Provemos que: [pic 59] =[pic 60] [pic 61].

Portanto, pela definição de sequência de matrizes, temos:

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Desde que, pela hipótese de indução, [pic 67] obtemos:

[pic 68]

Aplicando traço em ambos os membros da igualdade anterior, logo:

[pic 69]

Agora, desde que [pic 70] e, pela definição de uma sequência de matrizes, [pic 71], obtemos:

[pic 72]

Analisando a expressão anterior com:

[pic 73]

já vista anteriormente, obtemos: [pic 74], o que completa a prova.

- Dada uma matriz [pic 75] de ordem [pic 76], então: [pic 77]

Teorema de Cayley-Hamilton: Toda matriz é um zero do seu polinômio característico, isto é, dada uma matriz [pic 78], temos que:

[pic 79]

é o polinômio característico de [pic 80], então [pic 81].

Então pelo teorema (1) , temos:

[pic 82]

Porém, pela definição de uma sequência de matrizes, e utilizando a primeira propriedade, tem-se que: [pic 83] Considerando [pic 84] e substituindo o valor de [pic 85] em [pic 86], temos:

[pic 87]

2 - Dada uma matriz não singular [pic 88] de ordem [pic 89], e considerando da segunda propriedade que [pic 90] obtemos:

[pic 91]

Levando ainda em consideração a definição de uma sequência de matrizes,

[pic 92] Logo:

[pic 93]

Seja [pic 94] uma matriz não singular, então existe [pic 95] Dessa forma, multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por [pic 96], obtemos:

[pic 97]

OBS.:

- Com o método de Leverrier-Faddeev, obtemos o polinômio característico de [pic 98]. Para determinar seus autovalores basta determinar os zeros de [pic 99].

- Se ao fazer os cálculos [pic 100], resultar numa matriz diferente da matriz nula, você terá cometido erros de cálculo.

- Como [pic 101] e como [pic 102] então [pic 103] é uma matriz diagonal com todos os elementos não nulos iguais a [pic 104].

- Se [pic 105] é singular então [pic 106] . Nesse caso, é [pic 107] um autovalor de [pic 108].

EXEMPLO: Utilizando o método de Leverrier-Faddeev determinaremos o polinômio característico de A . Precisaremos construir a sequência A1,A2,A3,A4 para determinar o polinômio característico A.

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

Depois de obtido os coeficientes p1,p2,p3,p4 , teremos a expressão final do polinômio caraterístico de A . Logo:

[pic 112]

As raízes de P(λ) são:

[pic 113]

3 – MÉTODO DAS POTÊNCIAS

Usado para determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A, e seu correspondente auto vetor, sem determinar o polinômio característico. O método é eficaz na prática, desde que seu interesse seja determinar apenas alguns autovalores, de módulo grande, e, que estes estejam bem separados, em módulo, dos demais.

Podem surgir complicações caso a matriz A não possua auto vetores linearmente independentes.

O método das potências baseia-se no seguinte teorema.

- Seja A uma matriz real de ordem n e sejam λ1,λ2,...,λn seus autovalores e u1,u2,...,un seus correspondentes auto vetores. Suponha que os auto vetores são linearmente independentes, e que:

|λ1| > |λ2| ≥ ... ≥ |λn| .

Seja a sequência yk definida por:

yk+1 = Ayk , k = 0,1,2,... ,

onde y0 é um vetor arbitrário, que permite a expansão:

[pic 114], Combinação linear[pic 115]

com cj escalares quaisquer e c1 6= 0, então:

[pic 116] , (2)

onde o índice r indica a r- ésima componente.