O Calculo Númerico

...

[pic 20][pic 21]

Algoritmo de Newton-Raphson Algoritmo de Halley

[pic 22]

Algoritmo da Bisseção

Exemplo 2. [pic 23]

[pic 24]

O intervalo que se encontra a raiz é (0,1)

Pode-se montar também uma tabela para relacionara velocidade de cálculo dos métodos:

Método

Iterações

Tempo médio

Raiz

Bisseção

20

51 µseg

0.497200489044189

Halley

2

8 µseg

0.497200366107629

Newton

2

3 µseg

0.497200366107651

Gráfico de erros relacionados ao número da iteração para cada método:

[pic 25][pic 26]

Método de newton Método de Halley

[pic 27]

Algoritmo da bisseção

Exemplo 3. [pic 28]

[pic 29]

O intervalo que se encontra a raiz é [1,2]

Pode-se montar também uma tabela para relacionara velocidade de cálculo dos métodos

Método

Iterações

Tempo médio

Raiz

Bisseção

20

20 µseg

1.129980564117432

Halley

3

5 µseg

1.129980498650832

Newton

4

2 µseg

1.129980498650838

Gráfico de erros relacionados ao número da iteração para cada método

[pic 30][pic 31]

Método de newton Algoritmo de Halley

[pic 32]

Algoritmo da Bisseção

Exemplo de formatação entrada-saída

Para o exemplo 3, obteve-se:

Entrada:

0 0 1 1 1 -4 1000 0.000001 0.000001 1 2

Saída:

Entrada: 1

Método: Newton-Raphson -->Tempo de execução: 2.00 microssegundos

CONVERGIU

Número de iterações: 4

Raiz final: 1.129980498650838

|x_(i)-x_(i-1)|: 0.000000126609406

|f(x_i)|: 0.000000000000018

Método: Halley -->Tempo de execução: 5.00 microssegundos

CONVERGIU

Numero de iterações: 3

Raiz final: 1.129980498650832

|x_(i)-x_(i-1)|: 0.000000000033223

|f(x_i)|: 0.000000000000000

Método: Bisseção -->Tempo de execução: 20.00 microssegundos

CONVERGIU

Número de iterações: 20

Raiz final: 1.129980564117432

|x_(i)-x_(i-1)|: 0.000000476837158

|f(x_i)|: 0.000000230591277

Dificuldades enfrentadas

As dificuldades enfrentadas foram as relacionadas a sintaxe da linguagem utilizada, principalmente na parte do cálculo do tempo de execução, que se mostrava ser da ordem de microsegundos. Essa dificuldade foi solucionada com o uso da biblioteca e das funções time() e difftime() e de variáveis do tipo time_t.

Outra dificuldade foi a da declaração de todas as variáveis usadas no programa na main(locais), fazendo com que precisassemos passar, insistentemente , várias variáveis como parâmetro pra todas as funções, prejudicando muito a legibilidade e a construção do código. Por isso, decidimos usar variáveis globais, evitando ao máximo variáveis locais, fazendo com que a lista de argumentos das funções diminuisse drasticamente, aumentando a legibilidade.

Conclusão

Com relação aos métodos, o da bisseção precisa sempre que dentro do intervalo dado possua uma raiz, mas o método é simples computacionalmente. O método de Halley é mais sofisticado e converge para a raiz mais rapidamente que o método da bisseção, mas por possuir uma maior quantidade de operações algébricas demora mais que o de Newton-Rhapson.

O método de Newton e de Halley demandam que a raiz procurada ocorra “longe” de pontos