Momento de Inércia de Sólidos em Rotação

...

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

(6)

As grandezas θ, ω e α que caracterizam o movimento rotacional também podem ser representadas vetorialmente. A direção neste caso é a do eixo em torno do qual o corpo roda. O sentido é definido pela regra da mão direita, colocando-se os dedos na direção em que θ aumenta. O polegar coincide então com o eixo de rotação e indica o sentido do vetor . Estritamente falando, só pode ser considerado vetor quando o eixo de rotação não muda ou quando ||→ 0.[pic 12][pic 13][pic 14]

Se imaginar um corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo, dividido num número muito grande de partes, cada uma com massa ∆mi, veremos que a energia cinética de cada uma destas partes é (7):

[pic 15]

(7)

Pois sabemos que a velocidade tangencial é e que a velocidade angular ω é a mesma para todos os elementos de massa ∆ . A energia cinética total do corpo rígido pode ser encontrada somando-se as energias individuais de cada componente do sistema (8): [pic 16][pic 17]

[pic 18]

(8)

O termo entre parênteses é conhecido como momento de inércia, denotado por . A energia cinética de rotação de um corpo rígido pode então ser escrita como (9):[pic 19]

[pic 20]

(9)

A definição do momento de inércia dada acima é válida no caso em que o corpo é composto por partículas discretas. Se tivermos uma distribuição contínua de massa devemos fazer ∆mi → dm e transformar a soma em integral (10):

[pic 21]

(10)

Comparando a energia cinética de rotação com a de translação, vemos que o momento de inércia faz o papel da massa inercial e a velocidade angular faz o papel da velocidade tangencial. O momento de inércia depende fortemente da distribuição de massa com relação a um eixo específico, em torno do qual o corpo roda. Desta forma, um mesmo corpo rígido pode ter vários momentos de inércia que dependem dos eixos de rotação escolhidos. Para uma dada velocidade angular ω, como o momento de inércia depende do eixo de rotação, a energia cinética também dependerá.

O momento de inércia apresenta uma série de propriedades interessantes que muitas vezes simplificam a realização dos cálculos. Estas propriedades serão apresentadas a seguir:

- Teorema dos eixos paralelos

Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo passando pelo centro de massa, pode-se facilmente encontrar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a ele, como mostra a Figura 2. O momento de inércia em relação ao eixo passando pelo centro de massa é (11):

[pic 22]

(11)

enquanto que em relação ao eixo paralelo (12),

[pic 23]

(12)

[pic 24]

Figura 2

Entretanto, como r’ = h – r podemos escrever:

[pic 25]

O último termo nos dá a distância do C.M. ao eixo passando pelo C.M. que, obviamente, é nula. Logo (13),

[pic 26]

(13)

2. Teorema dos eixos perpendiculares

Este teorema é válido para corpos planos, do tipo placa, mostrado na Figura 3.

[pic 27]

Figura 3

Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados por (16):

[pic 28]

(14)

[pic 29]

(15)

[pic 30]

(16)

Portanto, , isto é, a soma dos momentos de inércia de dois eixos perpendiculares contidos no plano do corpo é igual ao momento de inércia em relação a um 3º eixo perpendicular ao plano do corpo e passando pela interseção dos dois primeiros. Quando este 3º eixo passa pelo centro de massa é denominado de eixo polar.[pic 31]

A seguir serão considerados alguns exemplos de cálculo de momento de inércia.

- Massa pontual - Este caso, mostrado na Figura 3, é o mais simples e leva um momento de inércia dado por: , onde d é a distância da massa ao eixo.[pic 32]

- Barra delgada de comprimento L – Considere uma barra roda em torno de um eixo perpendicular passando pelo centro de massa. A densidade linear de massa é , de forma que o elemento infinitesimal possui dm = dx = (M/L) dx. Como –L/2 x L/2, temos (17):[pic 33][pic 34]

[pic 35]

(17)

- Disco de raio R – A densidade superficial de massa de um disco de raio R é . Um disco pode ser considerado como composto de um grande número de anéis concêntricos, de raio r e espessura dr. A massa elementar de cada um destes anéis é dada por: , onde . O momento de inércia polar do anel é . Para calcularmos o momento de inércia do disco devemos somar as contribuições de todos os anéis concêntricos compreendidos entre 0 e r. Assim (18),[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40]

(18)

Pelo teorema dos eixos perpendiculares (19),

[pic 41]

(19)

Por outro lado, considerando um corpo rígido rodando com velocidade angular em torno de um eixo fixo O, existe uma força aplicada a uma distanciado eixo. Sabe-se que torque é a "força equivalente" em movimento de rotação. Há um conjunto completamente análogo de equações entre o movimento linear e movimento angular.