História e Aplicação de Cálculo Diferencial e Integral

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1 OBJETIVOS

Este trabalho visa apresentar de forma clara e objetiva algumas aplicações de derivadas em problemas diversos e cotidianos, tais problemas necessitam de métodos matemáticos capazes de determinar as possíveis soluções ótimas.

Dentre os métodos conhecidos, este trabalho abordará um método bastante eficaz que fornece informações sobre os pontos de máximo ou mínimo de uma função em um determinado intervalo, assim, com esta ferramenta é possível otimizar o problema, obtendo uma solução ótima para o mesmo.

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2 INTRODUÇÃO

Sabe-se que em várias áreas do conhecimento, tais como Matemática, Engenharias, Física, Economia e outras, são encontrados problemas que podem ser modelados matematicamente e otimizados. Estes problemas possuem restrições e condições iniciais, que servem de parâmetros para elaborar uma função matemática que represente a situação abordada afim de maximizá-la ou minimizá-la; procurando assim, encontrar o maior ou menor valor possível para que a função-problema atenda as condições dadas.

Um problema de otimização consiste em determinar valores máximos ou mínimos de uma função, ou seja, o maior ou menor valor que tal função pode assumir em determinado intervalo (FLEMMING, GONÇALVES, 2006). Problemas de otimização são comuns em nosso dia a dia, e aparecem quando, por exemplo, procuramos determinar quais dimensões uma caixa sem tampa deve possuir para que seu volume seja o máximo possível usando uma determinada quantidade de material.

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3 HISTÓRIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Há cerca de 200 anos a.C. já havia a necessidade de realizar cálculos matemáticos envolvendo áreas e volumes de figuras. Cálculos estes realizados de maneira que se reduzia a figura original em um triângulo de mesma área, de um triângulo a um paralelogramo, do paralelogramo a um retângulo, e este por sua vez, a um quadrado, todos com a mesma área da figura original. Este método foi denominado de quadratura, nome que se refere a este fato, onde se pode reduzir qualquer figura poligonal plana em um quadrado de mesma área.

Porém, neste mesmo período já se predominava uma grande dificuldade entre os matemáticos da época, em calcular área de figuras planas. Contudo, alguns anos mais tarde, Isaac Newton (adicionando a seus estudos a geometria de Descartes, e com seus estudos sobre séries infinitas, e o que ele denominava de fluxões e fluentes) e Gottfried Wilhelm Leibniz (adicionando o simbolismo utilizado por Cavalieri, e futuramente o seu próprio simbolismo) conseguiram desenvolver métodos revolucionários para resolver o problema de encontrar a área de figuras curvas. São dois grandes nomes na história, por inventarem o Cálculo Infinitesimal ou Cálculo Diferencial e Integral como é conhecido hoje (CARVALHO, 2007).

3.1 O CÁLCULO DIFERENCIAL: UM NOVO HORIZONTE COM ORIGEM EM ANTIGAS RAÍZES (ARCHIMEDES)

Tudo se originaliza de algo, com o cálculo não é diferente. O cálculo em si como um todo, pode ser expressado de várias maneiras, porém tem-se uma denominação usual, como a “matemática da variação”. A relação do cálculo com a vida do ser humano está totalmente ligada, tudo varia, tudo tem uma taxa de variação sendo ela controlada diretamente ou não, felizmente, essas variações estão interligadas. Por exemplo: a aceleração de um carro responde à forma pela qual controlamos o fluxo de gasolina para o motor, a taxa de inflação de uma economia responde à forma pela qual o governo controla a oferta de dinheiro e o nível de um antibiótico na corrente sanguínea de uma pessoa responde a dosagem e à escolha do momento oportuno de uma receita de um médico.

De certa forma, quando analisamos o contexto dessas variáveis que não podemos controlar diretamente elas complementam as que podemos controlar, e isso é essencial para sabermos de fato que acontece diariamente em nossas vidas. Isso é Cálculo, isso é a base de matemáticas fundamentais (ANTON, 2003).

3.2 A DERIVADA / APLICAÇÕES DA DERIVADA (ISAAC NEWTON e ISAAC BARROW)

Tratando-se de derivada e de suas aplicações estamos falando de fenômenos físicos ou matemáticos, ou seja, grandezas que variam, que estão sempre oscilando. Existem vários tipos de variações no nosso contexto diário, dentre elas o Índice de Massa Corporal (IMC), a variação da pressão sanguínea, a escala Ritcher entre outros. Quando fixamos o conceito de derivação na Matemática, o objetivo é encontrar a melhor maneira de desenvolver algo, chamamos isso de “exercícios de otimização”, onde cabe reduzir a determinação de um valor máximo ou um mínimo que se encaixe em algum intervalo de uma determinada função, por exemplo: Determine as dimensões de um retângulo cujo perímetro é 300 metros e que sua área seja máxima (CARVALHO, 2007).

3.3 INTEGRAÇÃO (ARCHIMEDES) O CÁLCULO INTEGRAL

A necessidade de se calcular áreas foi um grande problema para os gregos na antiguidade em meados de 225 a.C, com os questionamentos da quadratura (termo antigo para determinar áreas), que era um instrumento de medir figuras planas, que tinha como base o quadrado, assim, pegavam quadrados que eram correspondentes as figuras que estavam sendo calculadas para o cálculo ficar mais fácil (CARVALHO, 2007).

Quando se trata de taxas de variações e retas tangentes estamos falando de Cálculo Diferencial, já quando o intuito é outro, no caso de encontrar tamanhos, áreas, perímetros, nos referimos ao Cálculo Integral, porém ressalva-se lembrar que ambos estão ligados.

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4 DERIVADAS

4.1 RETA TANGENTE

Utilizar-se-á a ideia introduzida por Newton e Leibniz no século XVIII para definir a inclinação de uma curva , e posteriormente, encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto dado.[pic 3]

Seja uma curva definida no intervalo (a, b), e sejam [pic 6]e [pic 7] dois pontos distintos da curva . Seja a reta secante que passa por P e Q, considere