ATIVIDADES PRATICAS SUPERVISIONADAS – ATPS: Álgebra Linear

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Passo 1 e 2:

R: Equação linear é uma equação da forma a1x1+a 2x2+a3x3+anxn = b

Onde x1, x2, x3, ..., xn são variáveis, a1, a 2, a3, ..., na são respectivos coeficientes das variáveis , e b é o termo independente, o que constitui sua solução são os valores de suas variáveis que a transformam uma equação linear em identidade, esses valores são as raízes da equação; sistema de equação linear nada mais é, do que simplesmente um conjunto de equações lineares, no qual o valor das variáveis das equações lineares que a transforma em identidade, continuam sendo sua solução, essas valores nesse caso são chamadas de raízes de sistemas de equações lineares.

Passo 3: (Equipe)

Modele a situação-problema escrevendo-a em forma de um sistema de equações lineares fazendo uso da Lei de Kirchhoff.

R: Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos elétricos mais complexos, como por exemplo, circuitos com mais de uma fonte de resistores estando em série ou em paralelo.

Nó: é um ponto onde três (ou mais) condutores são ligados.

Malha: é qualquer caminho condutor fechado.

Fig. 1: Circuito com várias malhas e nós

Analisando a figura 1, vemos que os pontos a e d são nós, mas b, c, e e f não são. Identificamos neste circuito 3 malhas definidas pelos pontos: afed, adcb e badc.

[pic 2]

Fig. 1

Primeira lei de Kirchhoff (lei dos nós)

Em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam (aquelas cujas apontam para fora do nó) é igual a soma das correntes que chegam até ele. A Lei é uma conseqüência da conservação da carga total existente no circuito. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós.

Segunda lei de Kirchhoff (lei das malhas)

A soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) em qualquer malha é igual a soma algébrica das quedas de potencial ou dos produtos iR contidos na malha.

Aplicando as leis de Kirchhoff

Exemplo 1: A figura 1 mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores:

E1= 2,1V, E2 = 6,3 V, R1 = 1,7 Ώ, R2 = 3,5 Ώ. Ache as correntes nos três ramos do circuito.

[pic 3]

Fig. 1: Circuito com várias malhas e nós

Solução: Os sentidos das correntes são escolhidos arbitrariamente.

Aplicando a 1ª lei de Kirchhoff (Lei dos Nós) temos:

i1 + i2 = i3

Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Malhas): partindo do ponto a percorrendo a malha abcd no sentido anti-horário. Encontramos:

[pic 4]

ou

[pic 5]

Se percorrermos a malha adef no sentido horário temos:

[pic 6]

ou

[pic 7]

Ficamos então com um sistema de 3 equações e 3 incógnitas, que podemos resolver facilmente:

[pic 8]

[pic 9]

Resolvendo o sistema temos que:

i1 = 0,82A

i2 = -0,4A

i3 = 0,42A

Os sinais das correntes mostra que escolhemos corretamente os sentidos de i1 e i3, contudo o sentido de i2 está invertido, ela deveria apontar para cima no ramo central da figura 1.

Exemplo 2: Qual a diferença de potencial entre os pontos a e d da figura 1?

Solução: Pela Lei da Malhas temos:

[pic 10]

Observe que se não alterarmos o sentido da corrente i2, teremos que utilizar o sinal negativo quando for feito algum cálculo com essa corrente.

Etapa 4 (Equipe)

Determine a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistema linear.

R: Para resolver um sistema de n equações lineares com n variáveis, serão apresentados dois métodos: o método de Gauss-Jordan e o método da matriz inversa. Ao mesmo tempo se informará em que casos é mais conveniente utilizar outro método. Método Gauss Jordan: Calculadas as raízes do sistema, foi encontrada sua solução. A matriz dos coeficientes das variáveis foi transformada, por meio de operações adequadas na matriz unidade; ao mesmo tempo, submetida ás mesmas operações, a matriz coluna dos termos independentes foi transformada nas raízes das equações, isto é, na solução do sistema. As variáveis x e y, durante as operações realizadas, praticamente não participaram do processo, a não ser por sua presença ao lado dos coeficientes. Diante dessas duas constatações. É fácil explicar e entender o método de Gauss-Jordan, que por sua vez é muito simples.

2 4 | 22

5 -15 | -20

Essa matriz, associada ao sistema dado de equações lineares, é chamada de MATRIZ AMPLIADA do sistema. Cada linha dessa matriz é uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. O traço vertical é dispensável, mais é colocada para facilitar a visualização da matriz dos coeficientes das variáveis, e da matriz-coluna dos termos independentes.

ETAPA 3

Aula-tema: Equações Lineares: Regra de Cramer.

Esta etapa é importante, pois você aplicará a teoria sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, vista nas etapas anteriores, na resolução da situação-problema. É nesta etapa que você encontrará o resultado da situação-problema.