OS NÚMEROS COMPLEXOS

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Fonte: http://www.10emtudo.com.br/demo/matematica/numeros_complexos/index_2.html

3. O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente [pic 19]nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com [pic 20]; então, se z = a + bi escrevemos [pic 21]= a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é [pic 22]= 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é [pic 23]= 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é [pic 24]= - 5i

O conjugado de z = 10 é [pic 25]= 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado [pic 26]= a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z . [pic 27] = (a + bi) . (a – bi)

= a2 – abi + abi – b2i2

= a2 – b2 . (-1)

A soma dos quadrados

de dois números reaisnunca é negativa

= a2 + b2

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente [pic 28] na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente [pic 29] na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

[pic 30]

= [pic 31]

= [pic 32]

= [pic 33]

= [pic 34]i

= 1 – i

Fonte: http://www.10emtudo.com.br/demo/matematica/numeros_complexos/index_3.html

4. Potências de i

Temos:

i0 = 1

i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1

i1 = i

i5 = i4 . i = 1 . i = i

i2 = -1

i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1

i3 = i2 . i = -1 . i = -i

i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar ix para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i26 = i24 . i2 = (i4)6 . i2

= 16 . (-1)

= -1

i43 = i40 . i3 = (i4)10 . i3

= i10 . (-i)

= -i

Fonte: http://www.10emtudo.com.br/demo/matematica/numeros_complexos/index_4.html

5. O caso da raiz quadrada

Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas

[pic 35]e -[pic 36],

Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e - 2i são as raízes quadradas de - 4 porque

(2i)2 = 22 . i2 = 4 . (-1) = - 4

(- 2i)2 = (- 2)2 . i2 = (- 2)2 . i2 = 4 . (- 1) = - 4

De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque

(i[pic 37])2 = i2 . ([pic 38])2 = -1 . r = -r

(-i[pic 39]2) = (-1) 2 . i2 . ([pic 40])2 = 1 . (-1) . r = -r

Chamamos i[pic 41] de raiz quadrada principal de - r, e usamos o desenho [pic 42]para representá-la; a outra raiz quadrada - i [pic 43]é representada com -[pic 44]. Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.

Raízes quadradas de números negativos

Se - r raízes quadradas de - r são

i[pic 45]e - i[pic 46]

A raiz quadrada principal de - r é i [pic 47]:

[pic 48]= i[pic 49]

Exemplos

[pic 50] = i [pic 51]=i

[pic 52] = i[pic 53] = 5i

[pic 54]= i[pic 55]

Observação

Devemos ter especial cuidado quando efetuamos operações envolvendo raízes quadradas de números negativos. Quando a e b são positivos vale a propriedade [pic 56] . [pic 57] = [pic 58]. Mas, quando ambos são negativos a propriedade não é verdadeira. Por exemplo, a definição dada permite-nos escrever

[pic