Paper História dos Números Complexos

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Entretanto, Carl Friedrich Gauss, um jovem matemático, provou que a prova de Euler era insatisfatória. Segundo Gauss (1799) “Toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, pelo menos, uma raiz complexa.”, com este teorema o resultado sobre equações algébricas finalmente foi provado.

FIGURA 1 – CARL FRIEDRICH GAUSS

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FONTE: Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo>. Acesso em 11 mai. 2016.

Após estas “causalidades” na história dos números complexos (primeiramente chamados de sofísticos), surgiram seus conceitos e aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento, estes são abordados com maior frequência no ambiente de aprendizagem.

Os números complexos formam o maior conjunto numérico existente, pois abrange o conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e os mesmos (números complexos), como é apontado na figura abaixo.

FIGURA 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

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FONTE: Disponível em: . Acesso em: 11 mai. 2016.

Como já mencionado, a unidade imaginária é indicada pela letra “i”, de modo que i2=i.i= -1. Por isso a denominação “imaginário”, pois não existe número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. A partir deste ponto, parte-se para alguns conceitos básicos dos números complexos, lembrando que os mesmos costumam ser indicados por “z”.

- Forma algébrica: , sendo que a é a parte real de z, b a parte imaginária de z e i a unidade imaginária.[pic 4]

- Igualdade de números complexos: dois números complexos são iguais se .[pic 5]

- Oposto de um número complexo: o oposto do número complexo é o número complexo .[pic 6][pic 7]

- Conjugado de um número complexo: .[pic 8]

- Inverso de um número complexo: denomina-se inverso, o número , portanto .[pic 9][pic 10]

- Módulo de um número complexo: .[pic 11]

Como os outros conjuntos numéricos, os complexos também possuem suas operações básicas, inclusive potenciação. Segue abaixo conceitos e fórmulas destas:

- Adição: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

- Subtração: z1 - z2 = (a - c) - (b - d)i.

- Multiplicação: segue a mesma regra de multiplicação de polinômios, considerando i2 = -1. Sendo assim, z1 . z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

- Divisão: a divisão de dois números complexos z1 = a + bi e z2 = a + bi é dada pela multiplicação do numerador e denominador da fração, pelo conjugado do denominador.

- Potenciação: sendo z um número complexo qualquer, define-se da mesma maneira das potências de base real.

A representação de um número complexo, é realizada através do plano de Argand-Gauss, um plano cartesiano que tem seu eixo das abcissas representando a parte real e o eixo das ordenadas a parte imaginária.

FIGURA 3 – PLANO DE ARGAND-GAUSS

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FONTE: Disponível em: http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/>. Acesso em 11 mai. 2016.

Além destes breves e básicos conceitos citados, os números complexos ainda aparecem em sua forma trigonométrica, onde são, também, utilizados todas as operações e conceitos anteriores. Existem várias aplicações destas operações apresentadas, sendo elas utilizadas nas diversas áreas da engenharia, como a civil, elétrica e de controle, entre outros ambientes de estudo e aplicação, mas será focado na teoria de circuitos elétricos, pertencente à engenharia elétrica.

O pioneiro na aplicação dos números complexos nesta área foi o cientista alemão Hermann Von Helmholtz, logo após foi disseminada por Arthur Edwin e Charles Steinmetz, com auxílio de Julius Berg no final do século XIX. Em 1823, Edwin admitiu o termo impedância (grandeza elétrica medida em ohms que é a relação entre voltagem e a corrente elétrica quando essas grandezas são expressas por números complexos), o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos passaram a ser fundamentais no desenvolvimento da Engenharia Elétrica.

Em circuitos elétricos de corrente alternada, como por exemplo, as instalações elétricas residências, as grandezas elétricas são analisadas com o recurso dos números complexos, o que facilita muito os cálculos.

A relação U = Ri, estudada na Física do ensino médio e que se utiliza dos números reais, torna-se U = Zi, em que U é a tensão (diferença de potencial ou voltagem), Z é a impedância (resistência) e i é a corrente elétrica (variação de cargas elétricas ao longo do tempo), sendo essas grandezas representadas através de números complexos. (CHAVES S. Marcelo, 2013)

Para que não houvesse confusão entre i, símbolo da corrente elétrica, e i, unidade imaginária, os engenheiros concordaram em usar a letra j como representação da unidade imaginária na expressão algébrica do complexo a + bj. Também adotaram a notação para a forma trigonométrica do número complexo w.[pic 13][pic 14]

Na figura a seguir encontra-se um exemplo de representação de circuitos elétricos, onde são utilizados números complexos na realização dos cálculos para chegar a este desenho do circuito.

FIGURA 4 – CIRCUITO ELÉTRICO

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FONTE: Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAgbncAD/numeros-complexos-eletronica>. Acesso em 11 mai. 2016.

Dessa forma, esta pesquisa visa dar mais ênfase na origem dos números complexos, para que os educandos compreendam o caminho traçado para chegar até as fórmulas e regras que são dadas diretamente a eles.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Conclui-se que a aprendizagem, principalmente dos números complexos, se torna mais eficaz, a partir do momento em que é demonstrado aos educandos o assunto abordado desde o princípio do seu surgimento. Além disso, é possível