DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA: ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES COM PERIMETRO CONSTANTE
Por: kamys17 • 13/4/2018 • 1.641 Palavras (7 Páginas) • 300 Visualizações
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Em relação á desigualdade, comparamos os polígonos regulares de 3, 4, 6 e 8 lados, respectivamente, com o círculo, todos com o mesmo perímetro. A partir daí, duas principais conclusões são constatadas pelo grupo:
1. O crescimento da área é uma função do número de lados;
2. O círculo como polígono limite, quando o número de lados tende para o infinito é o que tem área máxima.
5. MATERIAIS DIDÁTICOS
Neste trabalho criaremos possibilidades de facilitar a construção dos nas aulas de matemática.
Para as atividades planejadas podemos utilizar vários recursos didáticos: régua, compasso, esquadro, transferidor, lápis, borracha, tesoura, cartolina; calculadora.
É desejável um projetor de multimídia.
6. DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA
Consideremos os seguintes polígonos regulares (todos eles de perímetro constante) 2p = L.
[pic 2]
1) Triângulo Equilátero
2) Quadrado
[pic 3]
Comparando [pic 4] e [pic 5] concluímos que: a área do quadrado é maior que a área do triângulo eqüilátero, visto que 0 5625 > 0, 4330. Logo, [pic 6], ou seja, a área do quadrado é aproximadamente 1,3 da área do triângulo, que representa 30% a mais de quantidade de superfície.
3) Hexágono Regular[pic 7]
3.1) Sejam o triângulo e o hexágono:
[pic 8]
De [pic 9] e [pic 10]concluímos que [pic 11], ou seja, o hexágono possui 50% a mais de superfície do que o triângulo eqüilátero.
Nesse caso particular é relativamente simples comparar fazendo a decomposição do triângulo eqüilátero de lado a e do hexágono de lado [pic 12] em triângulos eqüiláteros de lado c.[pic 13]
O triângulo eqüilátero de lado a, contém 4 triângulos eqüiláteros menores de lado [pic 14] e o hexágono contém 6 triângulos eqüiláteros de lado c. daí, [pic 15]
3.2) Sejam o quadrado e o hexágono:
[pic 16]
Daí, [pic 17] .
Comparando, [pic 18] e [pic 19] temos: [pic 20].
Ou seja, o hexágono regular possui aproximadamente 15% a mais de superfície.
4) Octógono Regular
[pic 21]
4.1) Comparando com o triângulo eqüilátero temos:
[pic 22]
Isto significa que o octógono regular possui aproximadamente 57% a mais de superfície que o triângulo eqüilátero.
5) Círculo
[pic 23][pic 24][pic 25]
5.1) Comparando o círculo com o triângulo eqüilátero temos:
[pic 26]
Logo, [pic 27], o que se concluí que o círculo possui aproximadamente 65% de superfície a mais que o triângulo eqüilátero.
Colocando-se os valores das áreas dos polígonos regulares de lados respectivamente 3, 4, 6, 8 e do círculo de raio R, todos com perímetro constante, em função da área do triângulo eqüilátero (n = 3) temos os correspondentes tabela e gráfico de crescimento de área.
[pic 28]
[pic 29][pic 30]
n → número de lados do polígono regular
An → área
An = f (n) Área do polígono regular em função do n polígono
5.2) Cálculo da Área de um Polígono Regular em função do número de lados
An = f (n)
Consideremos um polígono regular convexo de n lados com perímetro L = 2p
[pic 31]
[pic 32]
O → centro do polígono
ln → lado
[pic 33] = an (apótema)
[pic 34] = ln
n x ln → 2p (perímetro)
[pic 35] [pic 36] [pic 37]
Do triângulo retângulo OCB temos:
[pic 38]
Considerando que a área de um polígono regular é o produto do semi-perímetro pelo apótema. Isto é, An = p x an, segue que:
[pic 39] p (semi-perímetro) é constante.
Daí An varia em função de n (número e lados do polígono regular).
Polígono (n)
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
3
[pic 43]
[pic 44]
0,1924 p2
4
1
4
0,25 p2
5
0,7265
0,6325
0,2753 p2
6
0,5773
0,4641
0,2887 p2
8
0,4142
0,3018 p2
10
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