Ponto Flutuante - Calculo Numerico

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Para a maioria dos números reais a representação é feita por arredondamento (à exceção de números demasiado grandes ou demasiado pequenos, em valor absoluto, para poderem ser representados na máquina) que é a aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos.

Ex. 1: Cálculo utilizando uma calculadora digital:

Valor apresentado: 1,4142136

Valor real: 1,41421356...

Uma maneira de determinar se o arredondamento será por falta ou por excesso é somar meio na última casa decimal do número e abandonar as casas restantes.

Ex. 2: 0,003906.... = 0,003906+ 0,000005 = 0,00391

Truncamento:

O erro de truncamento está associado à quantidade de informação que a máquina pode conter sob a forma de um número. Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.

Em uma série de Taylor S(x) = o erro de truncamento de ordem N em ponto x, é definido como a diferença entre o valor exato de S(x) e a soma dos N primeiros termos da série:[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Ex. 1: A série de Taylor da função f definida por f(x) = ex em torno de x=1 é expressa por:[pic 8]

Desejando -se calcular o valor de e1 utilizando-se os sete primeiros termos da série, tem-se:[pic 9]

Há um erro de truncamento, pois dos infinitos termos da série foram considerados apenas os sete primeiros.

5.Exercícios Resolvidos

Escreva os números reais que estão na base β=10 em notação de um sistema de aritmética de ponto flutuante:

- X1 = 0,285

0,285 = (2/10 + 8/102 + 5/103).100

0,285 = (2.10-1 + 8.10-2 + 5.10-3).100

0,285 = (0,2 + 0,08 + 0,005).100

0,285 = 0,285.100

- X2 = -4,174

-4,174 = -(4/10 + 1/102 + 7/103 + 4/104).101

-4,174 = -(4.10-1 + 1.10-2 + 7.10-3 + 4.10-4).101

-4,174 = -(0,4 + 0,01 + 0,007 + 0,0004).101

-4,174 = -0,4174.101

- X3 = 0,0789

0,0789 = (7/10 + 8/102 + 9/103 ).10-1

0,0789 = (7.10-1 + 8.10-2 + 9.10-3).10-1

0,0789 = (0,7 + 0,08 + 0,009).10-1

0,0789 = 0,789.10-1

- X4 = 1845,3

1845,3 = (1/10 + 8/102 + 4/103 + 5/104 + 3/105).104

1845,3 = (1.10-1 + 8.10-2 + 4.10-3 + 5.10-4 + 3.10-5).104

1845,3 = (0,1 + 0,08 + 0,004 + 0,0005 + 0,00003).104

1845,3 = 0,18453.104

- X5 = 0,0009

0,0009 = (9/10 ).10-3

0,0009 = (9.10-1).10-3

0,0009 = (0,9).10-3

0,0009 = 0, 9.10-3

6.Bibliografia

Jorge Cavalcanti “MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG”,

Disponível em: http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/3CN_erros.pdf Acesso em: 30/10/2016.

“ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO”, Disponível em: http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/3CN_erros.pdf Acesso em: 30/10/2016.

“Ponto Flutuante” Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_flutuante Acesso em: 30/10/2016.

“Erro de truncamento”, Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_de_truncamento Acesso em: 30/10/2016.

G.J. de Sena (2005) ” ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE”,