Equação Geral do Plano Calculo Numérico

...

d = -6 x = 0 y = 0 => z – 6 = 0 => z = 6

A = (2, 0 , 0) , B = (0, 3, 0) , C= (0, 0, 6)[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Equação vetorial

[pic 65]

P – A = h + t[pic 66][pic 67]

ou

P = A + h + t[pic 68][pic 69]

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2) h e t € [pic 71][pic 72][pic 70]

Equação Vetorial

Exemplos

Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2, -1) e é paralelo aos vetores = (2, -3, 1) e = (-1, 5, -3). Obter uma equação vetorial e uma equação geral de π.[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 73][pic 74]

[pic 79][pic 80]

Vetorial: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)[pic 81][pic 82]

[pic 83][pic 84]

(x, y, z) = (2, 2, -1) + h(2, -3, 1) + t(-1, 5, -3)

[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

Equação geral:

[pic 89][pic 90][pic 91]

n = x [pic 94][pic 92][pic 93]

n = = ( 9 – 5)i – (-6 +1)j + (10 – 3)k[pic 95]

4i + 5j + 7k= ou (4, 5, 7)[pic 96]

4x +5y + 7z+ d = 0 [pic 97][pic 98]

4(2)+ 5(2) + 7(-1) + d = 0

8 + 10 -7 + d = 0

d = 11

Exercício

Seja o plano π que passa pelo ponto B = (1, 2, 3) e é paralelo ao vetores = (3i + j + 2k) e = (i + j + 6k). Obter uma equação vetorial e uma equação da reta.[pic 99][pic 100]

R= 4x – 16y + 2z + 22 = 0

Angulo de dois planos[pic 101]

[pic 102]

cos = com 0 ≤ ≤ [pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

Será negativo quando o ângulo entre os vetores for suplementar de [pic 113]

Exemplo

Determinar o ângulo entre os planos:

π1 = 2x + y – 2 + 3 = 0 π2 = x + y – 4 = 0

n1 = (2, 1, -1) n2 = (1, 1, 0)

cos = = = = = = 30°[pic 121][pic 122][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120]

Exercício

Determinar o ângulo entre os planos:

π1 = x – 2y + z – 6 = 0 π2 = 2x – y + 3 = 0 [pic 123]

Interseção de dois planos

[pic 124]

π1 = 5x – y + z – 5 = 0 π2 = x + y + 2z – 7 = 0

Determine um ponto A[pic 125]

Fazendo x = 0

5x – y + 2 – 5 = 0[pic 126]

0 – y + 4 – 5 = 0

- y = -1 A(0, -1, 4)

Determinar v= n1 x n2

= (-2 +1)i – (10 – 1)j + (5 +1)k = 0[pic 127]

-3i – 9j + 6k = 0 (-1, 3, -2)

Exercícios

1 r: π = 2x – y + 3z – 4 = 0[pic 129][pic 128]

2 r: = (2, -3, 1) r // t ?[pic 130][pic 131]

- Escrever a equação geral do plano que contem o ponto A(1, 0, 2) , B(-1, 2,-1) e

C(1, 1, -1).[pic 132][pic 133][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143][pic 144][pic 145][pic 146]

Produto Vetorial

= (-6 + 3)i – (6+ 0)j + (-2 + 0)k[pic 147]

-3i – 6j – 2k = n (3, 6, 2)

Escolha um ponto para encontrar d

ax + by + cz + d = 0

3(1) + 6(0) + 2(2) + d = 0 3x + 6y + 2z – 7 = 0[pic 148]

d = -3 -4

d = -7

Exercícios

Seja o plano : π = 3x + y – 2 – 4 = 0

Calcular:

- O ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3.

3 ∙ 1 + 3 – 2 -4 = 0 -> 3 + 3 – 4 = 2 -> 2 = 2 A = (1, 3, 2)

- O ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2.

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