Um Modelo para Diabetes

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Esse modelo simplificado nos fornece uma descrição precisa do sistema de regulação de glicose no sangue por algumas razoes, sendo elas:

- Em condições normais a interação entre um hormônio, ou seja, a insulina com a glicose no sangue, predomina um simples “modelo de parâmetros agrupados” que é suficientemente adequado.

- A normoglicemia não depende, necessariamente, de cada mecanismo cinético do sistema que regula a glicose no sangue, pelo contrário, ela depende do sistema global de regulação de glicose no sangue, o qual é denominado por interações insulina-glicose.

O modelo básico é descrito analiticamente por:

[pic 3]

[pic 4]

Sendo a taxa externa na qual a concentração de glicose no sangue é aumentada, enquanto a dependência e significam que as alterações em são determinadas pelos seus próprios valores.[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Assumindo que e são os valores ótimos ideais alcançados por , no momento em que um paciente em jejum chega ao hospital, isso implica que:[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Como estamos interessados nos desvios de e à partir de seus valoreis ideais, fazemos a seguinte substituição:[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Dessa forma, temos:

[pic 18]

[pic 19]

Para trabalharmos com um sistema linear o sistema será linearizado em torno do ponto de equilíbrio , através da Série de Taylor. Assim, temos :[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

onde e são muito pequenos se comparados com e .[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Assumindo que e só se desviam ligeiramente e , e portanto desconsiderarmos e , vemos que:[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

A princípio não existe meios para determinar os números

[pic 35]

No entanto, ao analisarmos o modelo proposto por Swan [2], podemos determinar os sinais das derivadas parciais.

Diagrama esquemático:

[pic 36]

Podemos observar que a Reserva de Glicose, que é o nível de glicose no sangue, recebe glicose de dois lugares, que é o trato gastrointestinal e o fígado. O Intestino retira a glicose dos alimentos ingeridos, enquanto que o fígado produz a glicose a partir do glicogênio, que é uma forma do corpo armazenar a glicose quando esta estiver em excesso. A reserva de glicose provê glicose aos órgãos do corpo través dos tecidos dos mesmos, que captam a glicose influenciados pela rede hormonal H. O nível de glicose G influência no metabolismo hormonal do sistema endócrino alterando o nível da rede de hormônios H. A rede de hormônios H

Influência o fígado a armazenar glicose e forma de glicogênio quando o nível de glicose está elevado.

Baseado nesse modelo temos que:

para > 0 e = 0[pic 37][pic 38][pic 39]

Considerando que a concentração de glicose no sangue vai diminuir a absorção de glicose pelos tecidos e o armazenamento de excesso de glicose no fígado sob a forma de glicogênio, consequentemente:

[pic 40]

Similarmente,

[pic 41]

Sabendo que um valor positivo de tende a diminuir os níveis de glicose no sangue, facilitando a absorção de glicose pelos tecidos e aumentando a taxa à qual a glicose é convertida em glicogênio, o número [pic 42]

[pic 43]

uma vez que um valor positivo de faz com que as glândulas endócrinas secretem aqueles hormônios que tendem aumentar [pic 44][pic 45]

Temos ainda que,

[pic 46]

Pois a concentração de hormônios no sangue diminui através do metabolismo hormonal. Escrevendo

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

sendo constantes positivas.[pic 51]

Dessa forma temos as seguintes equações:

(1)[pic 52]

(2)[pic 53]

Como só medir a concentração de glicose no sangue é suficiente, precisamos remover a variável Isto pode ser realizado como se segue:[pic 54]

A diferenciação de (1) em função de t, resulta em

(3)[pic 55]

Substituindo (2) em (3) temos:

[pic 56]

(4)[pic 57]

Como em (1) temos que

[pic 58]

Isolando obtemos:[pic 59]

[pic 60]

Consequentemente satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea[pic 61]

(5)[pic 62]

Podemos, ainda reescrever a equação na seguinte forma:

(6)[pic 63]

Sendo que, e [pic 64][pic 65]

Podemos fazer se desconsiderarmos intervalos de tempos muito curtos em que a glicose está sendo ingerida. Dessa forma, utilizamos para o momento em que a carga de glicose foi completamente ingerida.[pic 66][pic 67]