Servo Mecanismo: Definições e notações de matrizes

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detA = 0 (nulo; zero), então, A é singular, logo o posto não é 3 escolha arbitraria de uma submatriz

A = detA = 27 então A é não singular, logo o posto é 2[pic 43]

Operações com matrizes

- Adição

A + B = C

aij + bij = cij

As matrizes A e B devem ter a mesma ordem m x n

+ = [pic 44][pic 45][pic 46]

- Subtração

A – B = C

aij – bij = cij

- [pic 47][pic 48][pic 49]

- Multiplicação

AB = C

Cij = [pic 50]

Restrições: A multiplicação só pode ser realizada se o nº de colunas de A for igual ao n° de linhas de B.

A = 2 x 3 x B = 3 x 3[pic 51][pic 52]

2 x 3[pic 53]

A matriz resultante C terá ordem (n° de linhas de A) x (n° de colunas de B)

- Multiplicação por uma constante todos os elementos aij da matriz são multiplicados pela constante (K)

A = KA = [pic 54][pic 55]

- Inversas

Representado por A -1 de uma matriz quadrada An x n, definida por A A -1 = I

I = matriz identidade de ordem n x m

A inversa de A é determinada por:

A -1 = [pic 56]

A = [pic 57]

adjA = [pic 58]

detA = – (-1) +6 = -34[pic 59][pic 60][pic 61]

A -1 = [pic 62]

A -1 = [pic 63]

Aula dia 04/03/16

- Identidade de matrizes e determinantes

- Se aplicar a matriz

- Lei comutativa A + B = B + A

AB ≠ BA

- Lei associativa A + (B +C) = (A + B) + C

L0oA (BC) = (AB) C

- Transposta de soma (A + B)T = AT + BT

Transposta do produto (AB)T = BT AT

- Se aplicam a determinantes

Multiplicação de uma única linha ou de uma única coluna de uma matriz A, por uma constante K formando Â.

det = K detA

- Multiplicação de todos os elementos de uma matriz A por uma constante K (n x n)

Det(KA) = Kn detA

- Transposta

detAT = detA

- Determinante do produto de matriz quadradas

detAB = detA * detB

detAB = detBA

- Sistemas de Equações

O sistema de n equações lineares

[pic 64]

Pode ser representado na forma vetorial matricial como AX = B

Onde:

A= B = X= [pic 65][pic 66][pic 67]

Exemplo

5x1 + 7x2 = 3

-8x1 + 4x2 = -9

= [pic 68][pic 69][pic 70]

Solução 1

Se A é uma matriz não singular, pode-se pré-multiplicar AX = B por A-1 e obter a solução X.

X = A-1B

A = A-1 = [pic 71][pic 72]

B = [pic 73]

X = [pic 74]

Matlab

A = [ 5 7; -8 4 ]

Ai = inv(A)

B = [ 3; -9 ]

X = Ai* B

Solução 2

Regra de Cramer permite resolver o sistema de equações para única incógnita XK

XK = [pic 75]

Onde AK é uma matriz formada substituindo-se a K-ésima coluna de A por B em Ax= B

A = B = [pic 76][pic 77]

X1 = = = 0,987[pic 78][pic 79]

X2 = = = -0,276[pic 80][pic 81]

Autovetor

Os autovetores da matriz A n x n são todos os vetores Xi 0 que através da transformação A se tornam múltiplos deles próprios.[pic 82]

Axi =λ, onde λ são constantes.[pic 83][pic 84]

Ax deve ser colinear com x para que x seja um autovetor.

Gráfico

Auto valor

Os autovalores da matriz A n x n são os valores de λ que satisfazem a equação.[pic 85]