O Conjunto de pontos isolados

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Da definição de uma rede, é claro que existem vários exemplos de redes. Aqui Definimos um tipo específico de retículo, a retícula de inteiros:

Definição 1.2. Um ponto (x1, x2, ..., xn) 2 Rn é um ponto inteiro se x1, x2,. . . , Xn 2 Z. O Inteira, Zn, é o conjunto de pontos inteiros em Rn. (2 significa pertence)

Neste artigo, grande parte de nossa discussão girará em torno da retícula de dois inteiros, Z2.

[pic 2]

Portanto, ao longo de nossa discussão, quando nos referimos a uma rede, queremos dizer a retícula inteira Salvo indicação em contrário. Agora que temos algumas definições básicas em mãos, podemos discutir nossos objetivos Principais para este Papel em mais profundidade. Primeiro, abordaremos o Teorema de Pick. Considere um polígono P cuja Vértices situam-se em pontos de rede. Como mencionado acima, o Teorema de Pick nos permite determinar A área de P a partir do número de pontos de rede no limite de P, B (P) e Número de pontos de rede no interior de P, I (P). Mais especificamente, o Teorema de Pick Afirma o seguinte,

Teorema (Teorema de Pick). Seja P um polígono no plano com seus vértices em treliça ponto. Então a área de P, A (P), é dada por

[pic 3]

Onde B (P) é o número de pontos de rede no limite de P e I (P) é o número De pontos de rede no interior de P.

Para provar o Teorema de Pick, vamos primeiro dividir o polígono P em triângulos cada um com área 1/2; Comprovando que isso é possível completará grande parte do trabalho preliminar Provar o Teorema de Pick. Então, vamos introduzir algumas definições básicas e estabelecer algumas Fatos da teoria dos grafos. Este conhecimento de alguma teoria elementar de grafos nos permitirá Tratar o polígono, P, que dividimos em triângulos de área 1\2, como um gráfico. Fazer isso Permitem-nos determinar quantos triângulos com área 1/2 P contém em termos de B (P) e I (P). Depois de realizar todas essas tarefas, seremos capazes de derivar a fórmula dada Pelo Teorema de Pick para a área de P.Existem várias extensões do Teorema de Pick no plano. Vamos discutir alguns Estas extensões em detalhe. Aqueles que vamos discutir em detalhe incluem o seguinte. Nós primeiro Discutiremos uma versão do Teorema de Pick para polígonos contendo buracos (veremos que Teorema de Pick não se aplica a polígonos contendo buracos) [9]. Em seguida, discutiremos um Versão do Teorema de Pick que nos permite determinar o número de pontos de rede em um Polígono kP = {kx | x 2 P}, onde P é um polígono de retículo, para todos os inteiros positivos k [6]. Finalmente, discutiremos uma versão do Teorema de Pick que nos permite encontrar um limite superior Para o número de pontos de rede em uma região não-poligonal em R2 [6]. Para discutir este último Extensão do Teorema de Pick, precisaremos discutir convexidade em R2. Esta discussão De convexidade no plano nos levará ao próximo grande tópico do trabalho, o de Minkowski

Teorema.

Enquanto a extensão final do Teorema de Pick nos dará um limite superior no número De pontos da rede em uma região em R2, o Teorema de Minkowski nos permitirá determinar se Temos a garantia de encontrar mais de um ponto de rede em uma região em R2. Minkowski's O teorema é o seguinte,

Teorema (Teorema de Minkowski). Seja R uma região convexa limitada em R2 tendo Área maior que 4 que é simétrica em relação à origem. Então R contém um ponto inteiro Com excepção da origem.

Discutiremos o Teorema de Minkowski e suas exigências (convexidade, simetria, etc.) Nas secções 4 e 5. Se o Teorema de Minkowski garante a existência de um ponto Uma região R além da origem, então temos um limite inferior de dois para o número de retículo Pontos em R. Assim, tanto o Teorema de Pick quanto o Teorema de Minkowski nos dão informações Sobre as regiões do avião com base em números que podemos encontrar facilmente, como o número de Pontos de rede no interior da região, o número de pontos de rede no limite Da região, da área da região ou do perímetro da região. Damos agora um breve Visão geral do Teorema de Minkowski. Não precisaremos de muitos resultados novos para provar o Teorema de Minkowski. Primeiro vamos provar O lema de Blichfeldt que garante qualquer conjunto delimitado em R2 com área maior que 1 Contêm dois pontos distintos cuja diferença em adição de vetor é um ponto inteiro. Nós Irá usar esse resultado para mostrar uma região maior, uma região que satisfaça os Minkowski's Theorem, deve conter um ponto inteiro. Como faremos para o Teorema de Pick, também discutiremos algumas das muitas extensões de Teorema de Minkowski; Também discutiremos um par de aplicações do Teorema de Minkowski. Em primeiro lugar, discutiremos o Teorema de Minkowski em redes que não a retícula de inteiros [2].

Em seguida, vamos discutir duas aplicações do Teorema de Minkwoski. Como dito anteriormente, O Teorema de Minkowski pode ser usado nas provas de alguns teoremas importantes em número teoria. Vamos discutir e provar um tal teorema, o Teorema dos Dois Quadrados, para um caso particular. O Teorema dos Dois Quadrados nos diz quais números inteiros podem ser escritos como uma soma De dois quadrados e que não pode [2]. Usaremos o Teorema de Minkowski para mostrar qual Primos podem ser escritos como uma soma de dois quadrados, provando o Teorema de Dois Quadrados para números primos. O Teorema de Minkowski também pode ser usado na resolução do Problema do Pomar, Um problema aplicado envolvendo um pomar circular de árvores plantadas em pontos de rede [3]. Nós vamos Concluir nossa discussão do Teorema de Minkowski com uma prova de uma extensão de Minkowski Teorema para as regiões de Rn seguido de uma breve discussão de algumas O Teorema de Minkowski em Rn. Ao longo do artigo, todos os teoremas, definições, provas, etc. São adaptados de [6] a menos que indicado de outra forma.

2 Triângulos Primitive Lattice

Como mencionado acima, nossa prova do teorema de Pick será dependente do fato de que cada polígono Com seus vértices em pontos de rede podem ser divididos em triângulos. Cada triângulo tem todos os três De seus vértices em pontos de rede e tem área 1\2. Uma vez concluída esta seção, teremos Mostrado podemos dividir qualquer polígono P, com todos os seus vértices em pontos de rede, em triângulos Todos da mesma área conhecida, 1/2.

2.1 Triangulação de um polígono