A Destilação é um processo de separação muito antigo

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Um dos modelos utilizados para descrever uma coluna de destilação apresentado por Wood e Berry é do tipo multivariável com duas entradas e duas saídas, dado por:

[pic 3]

Separando G2(s), de forma, a observar as entradas e saídas, tem-se:

[pic 4]

[pic 5]

A figura a seguir é a representação do modelo acima em diagrama de blocos.

[pic 6]

Figura 2 - Diagrama de Blocos do modelo G(s)

O controle desse sistema pode ser feito de forma multivariável ou por malha. Considerando o caso mais simples, por malha, o diagrama de blocos do processo mais os controladores PID individuais podem ser vistos na figura a seguir.

[pic 7]

Figura 3 - Diagrama de blocos do sistema com controlador PID por malha

Para o caso do controlador PID por malha, a sintonia é realizada considerando apenas a malha realimentada e desconsiderando a existência da malha cruzada. Por exemplo, a sintonia do PID1 é realizada considerando apenas a malha G11(s) e desconsiderando a malha cruzada G12(2). Esta malha cruzada é tomada como perturbação que deve ser compensada pelo controlador.

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Objetivos

Este relatório tem como objetivo implementar a estratégia de controle de desacoplamento de sistemas com múltiplas variáveis (Decoupling Control of Multivariable Systems), descrita na seção 5.4 do livro Linear Feedback Control – Analysisand Design with MatLab.

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Fundamentos Teóricos

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Controle de Desacoplamento com Estado de Realimentação

Considere um processo descrito pelo espaço de estados a seguir com m entradas e m saídas:

[pic 8]

O sinal de controle, u, é definido pela realimentação de forma que , a função de transferência de malha fechada do sistema é dada por:[pic 9]

[pic 10]

Onde, Γ é uma matriz de compensação que dá um ganho no sinal após ter sido controlado e K é a matriz do estado de realimentação. A dinâmica do sistema pode ser vista através de diagrama de blocos na figura a seguir.

[pic 11]

Figura 4 - Estrutura do desacoplamento e do controlador

O teorema 5.2 apresentado no livro nos dá as seguintes definições que estabelecem que o sistema definido em 1 pode ser desacoplado se:

[pic 12]

De forma que B1 seja não singular e que .[pic 13]

O código da função decoupler segue em anexo. A matriz G1 retornada pela função é a matriz de função de transferência desacoplada. De forma que é G1 é uma matriz do tipo:

[pic 14]

O vetor d contém os valores de dj definidos como a menor ordem que faz [pic 15]

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Alocação de Polos de Sistemas Desacoplados com Estado de Realimentação

Na dinâmica de controle apresentada anteriormente, o desacoplamento é feito de forma que sistemas de múltiplas variáveis são dissociados em sistemas diagonalizados do tipo integrador, o que torna o projeto em malha fechada difícil. A forma ideal para a matriz G1 seria:

[pic 16]

Onde dj já foi definido anteriormente e os parâmetros dos polinômios podem ser especificados pelo método de alocação de polos.

O polinômio esperado pode ser definido como uma função de transferência padrão. A função de transferência padrão de um sistema de ordem n, com o critério ITAE (Integral of Time-Multiplied Absolute Valuer of Error) é definida como:

[pic 17]

Os coeficientes aj podem ser computados minimizando o critério ITAE através da tabela a seguir.

Tabela 2 - Modelo Padrão pelo critério ITAE

[pic 18]

O modelo de uma função de transferência para a frequência ωn, utilizando o critério ITAE, para o MatLab pode ser visto nos anexos, a função foi nomeada como std_tf.

Para fazer o desacoplamento do sistema é necessário definir uma função E e uma função F, de forma que:

- As linhas de E são: [pic 19]

- As linhas de F são: [pic 20]

Dessa forma, K e Γ agora são definidos como:

- [pic 21]

- [pic 22]

O novo algoritmo baseado na dinâmica da função de desacoplagem segue em anexo, a função criada recebeu o nome de decouple_pp.

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Resultados

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Controle de Desacoplamento com Estado de Realimentação

Utilizou-se o código que segue em anexo para fazer o desacoplamento do processo G2(s).

Onde:

[pic 23]

Observa-se que para esse modelo não é possível fazer o desacoplamento em G1, K e Γ. Isto se deve ao fato de que o B1 calculado para este processo não é inversível.

[pic 24]

Como det(B1) = 0, a matriz não é inversível. Devido a isto, já que Γ é definido como a inversa de B1 não é possível desacoplar o processo.

Utilizando o processo G5, é possível fazer desacoplamento.

Onde:

[pic 25]

Para