SERIE DE FOURRIER
Por: Ednelso245 • 21/9/2018 • 1.113 Palavras (5 Páginas) • 243 Visualizações
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6 – Algumas Propriedades da Transformada de Laplace
6.1 – Propriedade de Linearidade
Se [pic 62] são constantes quaisquer, enquanto que [pic 63] são funções com transformadas de Laplace [pic 64], respectivamente, então
L[pic 65] L[pic 66] L[pic 67]
= [pic 68].
Prova: Temos
L[pic 69] L[pic 70]
e
L[pic 71] L[pic 72].
Assim,
L[pic 73]
= [pic 74]
= [pic 75].
Exemplo: L[pic 76]
= [pic 77][pic 78]
6.2 – Transformada de Laplace de Derivadas
Teorema 1: Se L[pic 79], então L[pic 80], se [pic 81] é contínua para [pic 82] e de ordem exponencial para [pic 83], enquanto [pic 84] é seccionalmente contínua em [pic 85].
Prova: Aplicando integração por partes, tem
L[pic 86]
=[pic 87]
=[pic 88]
=[pic 89]
=[pic 90]
Usando o fato de que [pic 91] é de ordem exponencial [pic 92] quando [pic 93], de modo que [pic 94] para [pic 95].
Teorema 2: Sejam [pic 96] contínuas para [pic 97] e de ordem exponencial para [pic 98], e [pic 99] seccionalmente contínua para [pic 100]. Se L [pic 101], então
L[pic 102].
Prova: Pelo teorema 1, temos
L[pic 103].
Fazendo [pic 104], temos
L[pic 105]L [pic 106]
=[pic 107]
=[pic 108].
Exercícios 1
1 – Prove que:
a) L {1}[pic 109]
b) L [pic 110]
c) L [pic 111]
d) L [pic 112]
e) L [pic 113]
6.3 – Multiplicação por [pic 114]
Teorema 3: Se L[pic 115], então
L[pic 116],
onde [pic 117]1, 2, 3, ....
Prova: A demonstração é feita usando indução matemática.
Temos
[pic 118].
Então pela regra de Leibniz para derivação sob o sinal de integração, para [pic 119], temos
[pic 120]
[pic 121] L [pic 122]
ou seja,
L[pic 123].
Suponhamos, agora, que o teorema vale para [pic 124], isto é,
L[pic 125],
ou ainda,
L[pic 126].
Assim, temos
[pic 127]
Portanto, se vale para [pic 128], então também vale para [pic 129].
6.4 - Divisão por [pic 130]
Teorema 4: Se L[pic 131], então L[pic 132], contanto que [pic 133] exista.
Prova: Suponha que [pic 134]. Então, [pic 135]. Agora, tomando a transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos
L[pic 136] L[pic 137]
[pic 138].
Daí, temos
[pic 139].
Note que [pic 140]
Exercícios 2
1 – Determine:
a) L [pic 141]
b) L [pic 142]
c) L [pic 143]
d) L [pic 144]
e) L [pic 145]
f) L [pic 146]
g) L [pic 147]
A Transformada Inversa de Laplace
1 - Definição da Transforma Inversa de Laplace
Se a transformada de Laplace de [pic 148] é [pic 149], ou seja, L[pic 150], então [pic 151] é chamada de transformada inversa de Laplace de [pic 152] e escrevemos simbolicamente por [pic 153] L-1[pic 154].
Exemplo: Como L[pic 155], podemos escrever L-1[pic 156].
2 - A Transformada Inversa de Laplace de Algumas Funções
[pic 157]
L -1[pic 158]
1
[pic 159]
1
2
[pic 160]
[pic 161]
3
[pic 162]
[pic 163]
[pic 164]
4
[pic 165]
[pic 166]
5
[pic 167]
[pic 168]
...