LISTA DE EXERCICIOS - ELETROMAGNETISMO - MNPEF UNB - PORTU

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Sendo assim a integral da carga no anel resulta em sua carga total:

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Para localizar o ponto no eixo z positivo, onde o campo elétrico é mais forte teremos de definir a derivada igual a zero

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Para este cálculo iremos usar a derivada do quociente,

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Fazendo,

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Resolvendo teremos,

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Concluímos que o ponto z em que o campo é o máximo, será:

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Como buscamos um ponto no eixo z positivo, estamos preocupados com a raiz positiva,

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Observe que sabemos que o campo deve ter um máximo local em algum lugar entre z = 0 e z = ∞, porque o campo é zero em ambos os pontos.

1.57 Linhas de campo de fuga **

As cargas 2q e -q estão localizados no eixo x em x = 0 e x = a, respectivamente.

(a) Encontre o ponto no eixo x onde o campo elétrico é zero e faça um esboço áspero de algumas linhas de campo.

(b) Você deve achar que algumas das linhas de campo que começam na carga 2q acabam na carga -q, enquanto outras se dirigem para o infinito. Considere as linhas de campo que formam o ponto de corte entre estes dois casos. Em que ângulo (em relação ao eixo x) essas linhas deixam a carga 2q? Dica: Desenhe uma superfície gaussiana, escolhida com sabedoria, que segue principalmente essas linhas)

SOLUÇÃO:

(A) Deixe o anel se encontrar no plano horizontal. Um pequeno pedaço do anel com carga dq produz um campo dq / 4πε0R2 no centro. A uma pequena distância vertical z acima do centro, a magnitude do campo devido à peça dq é essencialmente a mesma (ela difere somente na ordem z2 / R2, pelo teorema de Pitágoras), de modo que o componente vertical é obtido simplesmente com um toque Um fator de tipo pecado θ, que é z / R aqui. A integração em todo o anel gira o dq em Q, então o campo vertical desejado é Qz / 4πε0R3. Alternativamente, você pode calcular o campo exatamente (como na solução para o Exercício 1.48) e, em seguida, pegue o limite z «R.

(B) A solução para o Problema 1.8 nos diz que no plano do anel, o campo próximo ao centro, no raio r, aponta radialmente para dentro (supondo que Q seja positivo) com magnitude λr / 4ε0R2. Mas, como λ = Q / 2πR, isso pode ser escrito como Qr / 8πε0R3. Considere um ponto próximo ao centro, com um valor r diferente de zero, e também um valor z diferente de zero. Para ordem principal, o componente horizontal do campo ainda é Qr / 8πε0R3, e o componente vertical ainda é Qz / 4πε0R3, da parte (a). Ou seja, esses resultados são realmente válidos para todos os pontos do espaço perto da origem, não apenas no plano do anel ou no eixo. Você pode verificar isso escrevendo as expressões exatas para os campos. Por exemplo, na parte (a), os valores efetivos de R mudam um pouco se o ponto estiver fora do eixo, mas isso não altera o campo, até a ordem principal. Alternativamente, note que, devido à simetria, o componente horizontal Er (r, z) é uma função par de z. Isso significa que Er (r, z) não possui dependência linear de z. A variação com z, portanto, começa apenas na ordem z2, o que é insignificante para z pequeno. Então, Er é essencialmente independente de z perto do eixo. Razões semelhantes funcionam com Ez como função de r. Por simplicidade, vamos definir A ≡ Q / 8πε0R3. Em seguida, os componentes de campo horizontal e vertical possuem magnitudes Ar e 2Az, respectivamente. As faces superior e inferior do cilindro pequeno possuem uma área combinada de 2rr20. E o lado cilíndrico vertical tem uma área de (2πr0) (2z0). Existe fluxo externo através da parte superior e inferior, e fluxo interno para o lado, de modo que o fluxo externo líquido é igual a

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como desejado. Se trabalharmos para trás, esse exercício realmente fornece um método muito mais rápido, em comparação com o do Problema 1.8, para encontrar o componente horizontal do campo próximo ao centro do anel, assumindo que conhecemos o componente vertical.

1.59 Campo zero dentro de uma concha cilíndrica *

(Considere uma distribuição de carga sob a forma de um cilindro circular oco, como um tubo de carga longa. No espírito do Problema 1.17, mostre que o campo elétrico dentro do tubo é zero.)

(1.60 Campo a partir de um cilindro oco *

Considere o cilindro oco do Exercício 1.59. Use a lei de Gauss para mostrar que o campo dentro do tubo é zero. Também mostre que o campo externo é o mesmo que se a carga estivesse no eixo. Uma declaração é verdadeira para um tubo de seção transversal quadrada em que a carga é distribuída com densidade de superfície uniforme?)

(1,76 Átomo de hidrogênio **

O átomo de hidrogênio neutro em seu estado normal se comporta, em alguns aspectos, como uma distribuição de carga elétrica que consiste em uma carga pontual de magnitude e cercada por uma distribuição de carga negativa cuja densidade é dada por ρ(r) = −Ce−2r/a0. Aqui a0 é o raio de Bohr, 0.53.10-10 m, e C é uma constante com o valor necessário para tornar a quantidade total de carga negativa exatamente e. Qual é a carga elétrica líquida dentro de uma esfera de raio a0? Qual é a força do campo elétrico a essa distância do núcleo?)