Sugestões para parametrização de algumas curvas ou superfícies

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y - x2 = 0 => “calha” em azul

z – y = 0, => plano em vermelho

C é a intersecção das duas superfícies em rosa.

Das equações dadas vem que, y = x2 e z = y = x2,

de onde podemos obter a parametrização

C :. r(t) = (t, t2, t2), -2 t 2.

ou

C :. r(x) = (x, x2, x2), -2 x 2.

com vetor velocidade v(t) = r’(t) = (1, 2t, 2t ) ou v(x) = r’(x) = (1, 2x, 2x ) cujo módulo é v(t)| = |r’(t)| =[pic 20]= [pic 21] ou |v(x)| = |r’(x)| = [pic 22]. Observe que nesse exemplo as funções f e g são iguais. Observe, ainda, que o parâmetro não necessariamente é igualado a x, Podemos igualá-lo a qualquer uma das variáveis e, naturalmente, vamos escolher aquela que resulte em funções mais simples.

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Se S é um superfície gráfico de uma função dada por z = f(x, y) com domínio D, sendo D uma região do plano XOY,podemos obter uma parametrização para S fazendo os dois parâmetros iguais às variáveis independentes e usando a função. Ou seja,

r(u, v) = ( u, v, f(u, v) ) , (u, v)[pic 23]D

ou mesmo

r(x, y) = ( x, y, f(x, y) ) , (x, y)[pic 24]D

Temos: ru(u, v) = ( 1, 0, fu(u, v) ) = (1, 0, [pic 25]f(u, v) )

rv(u, v) = ( 0, 1, fv(u, v) ) = (0, 1, [pic 26]f(u, v) )

O vetor normal à S no ponto ( u, v, f(u, v) ) é o vetor

V(u, v) = ru(u, v) x rv(u, v) =[pic 27] = (-[pic 28]f(u, v), -[pic 29]f(u, v), 1)

ou V(x, y) = (-[pic 30]f(x, y), -[pic 31]f(x, y), 1) = (-[pic 32],-[pic 33], 1).

Observação: Procedendo de modo análogo podemos parametrizar superfícies dadas por y = f(x, z) ou x = f(y, z) e também encontrar vetores normais à essas superfícies.

Exemplo: S é a superfície gráfico da função dada por y = f(x, z) = 4 - x2 – z2 com y > 0, que coloca y como função de x e de z. Desta forma o domínio de f é uma região D contida no plano XOZ formada pelos pontos projeção ortogonal de cada ponto da superfície sobre o plano XOZ( D é a “sombra” de S sobre o plano XOZ).

4 - x2 – z2 > 0 => 4 > x2 + y2 [pic 34]

D = { (x, z)[pic 35]IR2 / x2 + y2 4 }

Parametrização para S:[pic 36]

r(u, v) = (u, u2 + v2, v),

com (u, v)[pic 37]D

ou

r(x, z) = (x, x2 + z2, z),

com (x, z)[pic 38]D.etor normal V(u, v) = ru(u, v) x rv(u, v) =[pic 39] = ( 2u, -1, 2v),