UM ESTUDO SOBRE A ANÁLISE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PID

...

O resultado desse problema em questão nos dá um tempo de assentamento, tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de 2% em torno do seu valor final (Ts = 2,44 seg.). Além do valor final de estado estacionário ser igual a 0,667.

Para realizar o controle devemos traçar um objetivo, e o nosso é atingir um tempo de assentamento Ts = 1 seg. e chegar ao máximo de 10% o valor do percentual de ultrapassagem, que é o quanto a forma de onda, no instante de pico, ultrapassa o valor de estado estacionário final. Além disso, obter um erro de estado estacionário nulo, a diferença entre a entrada e a saída igual a zero.

PID

Nosso sistema é de segunda ordem sendo as respostas Superamortecidas. Portanto apresentam dois polos reais, que são os valores que fazem com que a função de transferência se torne infinitos, quando substituídos na variável s da Transformada de Laplace ou, as raízes do denominador comuns às raízes do numerados.

A partir do valor máximo que queremos que o percentual de ultrapassagem chegue, conseguimos achar o valor da variável Zeta (ζ = 0,59) que é a comparação da frequência de decaimento exponencial da envoltória com a frequência natural.

Com o valor de Zeta e com o tempo de assentamento que queremos alcançar, encontramos também o valor da frequência natural (ωn = 6,78) que é a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento, através da formula: [pic 6][pic 7].

Com todos esses valores encontrados já podemos começar a realizar o controle por PID, inicialmente pelo PD (Proporcional Derivativo), melhorando assim a nossa resposta transitória.

Sendo (σ = 4) a parte real e (ωd = 5,47) a parte imaginária, eixo X e eixo Y respectivamente do plano, verificamos que a soma dos ângulos formados pelos polos (-1 e -2) é igual a -228,82°, assim devemos acrescentar um zero na nossa função de transferência para compensar esse ângulo e obter a resposta transitória desejada. Para isso, acrescentamos um ângulo de 48,82° obtendo um zero, que são os valores que fazem com que a função de transferência se torne zero, quando substituídos na variável s da Transformada de Laplace ou, as raízes do numerador comuns às raízes do denominador, com valor de 8,8.

Assim, obtemos os seguintes valores: Ts = 0,743 seg., percentual de ultrapassagem igual a 15,5% e o valor final igual a 0,957.

Agora que conseguimos melhorar o sistema, até mais que esperávamos, em sua resposta transitória, podemos implementar o PI (Proporcional Integrativo) obtendo o resultado PID. Para isso, acrescentamos um polo na origem e um zero muito próximo dela.

Finalmente chegamos aos resultados com um erro nulo, ou seja, entrada igual à saída, tempo de assentamento Ts = 0,743 seg. e percentual de ultrapassagem igual a 10,5%, sendo possível comparar todas as etapas na figura 1.

[pic 8]Figura 1: Sistema Compensado PID

LMI’s

- Desigualdades matriciais

Vamos introduzir a definição de LMI’s (Desigualdade Matriciais Lineares), a partir desta definição temos o intuito explicitar os principais resultados e definições que irá nos auxiliar a entendê-la e aplicar a teoria de Desigualdades Lineares.

Definição 1. Dado uma função F: C → S n onde:

• C ∈ X é um subconjunto convexo do espaço vetorial X de dimensão finita;

• S n é o espaço das matrizes simétricas e

• F é uma função Afim,

Dizemos que F(x) ≺ 0 é uma desigualdade matricial linear.

Neste momento nos encontramos em uma situação delicada, pois temos uma definição com vários detalhes e interconexões com outras áreas. Como nosso interesse é de introduzir a base que nos possibilite fazer a analise e síntese de um controlador, nos atentaremos para as principais definições e resultados que aplicaremos, deixando as referencias principais citadas para demais duvidas.

- Observações de analise convexas

Agora iremos introduzir e exemplificar as ideias de conjuntos convexos, combinação convexa e função Afim.

Definição 2. Dado um conjunto C ∈ X, onde X é um espaço vetorial, temos que C é dito convexo se ∀C1, C2 ∈ C e t ∈ R temos que todos os pontos do segmento de reta.

Observação 1. O conjunto C tem que pertencer a um espaço vetorial X, pois só podemos definir a ideia de reta ou combinação linear de dois vetores se os vetores pertencem a um espaço vetorial.

Exemplo 1. Dado o conjunto das matrizes Sn das matrizes simétricas:

Sn = {A ∈ M(n × n)|A = A T} onde AT significa Matriz A transposta. Mostre que esse espaço é convexo.

Solução: Qualquer ponto A1 e A2 em Sn, temos que a combinação linear R(t) = (1 − t)P1 + tP2 ∈ C ∀ 0 ≤ t ≤ 1.

Definição 3 (Poliedro). Um Poliedro é definido como a interseção finita de Semi-espaços e Hiperplanos. Ou seja, dados os semi-espaços e hiperplanos: E1, · · ·, En, H1, · · ·, Hm, temos que o Poliedro é o conjunto P = {\n i=1 Ei ∩ \m j=1 Hj}, observando ainda que esse conjunto pode ser ilimitado.

Definição 4 (Politopo). Definimos um Politopo como um Poliedro Compacto "Fechado e limitado".

Definição 5 (Combinação convexa). Dado um conjunto C = {C1, · · ·, Cn} onde n ∈ N e C ⊂ X espaço vetorial, temos que uma combinação convexa desses pontos é qualquer combinação linear da forma Xn i=1 αiCi onde Xn i=1 αi = 1.

Definição 6 (Convex hulls). O menor conjunto convexo que cobre o conjunto C (sendo C é um subconjunto qualquer de um espaço vetorial X) é chamado involucro convexo, que é determinado pelas combinações convexas dos seus pontos, ou seja:

X∞ i=1 αiCi onde X∞ i=1 αi = 1

Definição 7 (Aplicação Afim). Dado uma aplicação F: X → Y onde X e Y são espaços vetoriais de dimensão finita temos que F é uma aplicação afim se F(x) = f0 + T(x), onde f0 ∈ Y e T é uma transformação linear.

- Sistemas