ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS MECÃNICA

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0axn dx=a n+1n+1

Walles desenvolveu em 1655, seu trabalho Aritmética infinitoru, para chegar em algumas conclusões ele fez o princípio de indução e interpolação, em seguida Femat criou a técnica para achar as parábolas maiores.

Galileu estudou o movimento, Barrow e Torricelli afirmavam ter velocidades variadas no problema do movimento.

Foi desenvolvida a ideia de que derivada e integral são processos inversos, pois a velocidade era derivada da distância e a distância levava a velocidade, essa ideia surgiu de Barrow.

Os estudos de Galileu e Barrow foi continuado por Newton que sabia que a integral da aceleração era velocidade, e que a derivada da velocidade era aceleração.

O símbolo ∫ criado por Leibniz – u ”s” que representa suma. É usado para representar áreas infinitesimais.

O cálculo integral foi desenvolvido pelos dois, porém Newton estudava o cálculo geométrico e Leibniz estudava como analítico. Porém a notação de Leibniz foi a mais eficaz do que a de Newton, sendo usada até hoje.

Os estudos de cálculo integral feitos por Leibniz foram publicados em 1686 com o nome Calculus Summatórius.Johan Bernoulie criou em 1690.

Na época da publicação das tabelas de integrais de Newton, foi descoberto por Johann Sistemas para integrar funções racionais, que é conhecido método das frações parciais. Todos esses estudos foi resumido por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Euler deu continuidade ao estudo de funções, junto com Cauchy, Gauss e Riemann. Assim Euler reuniu todo os conhecimento de Integral e criou os Fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é utilizado em áreas do conhecimento, resolvendo problemas de Matemática, Astronomia, Física, Engenharia, Economia, Química, etc.

Integrais Definidas

A integral definida serve para calcular a função total de uma variação, pode ser usada para calcular a distância, a área debaixo de uma curva e o valor médio de uma função.

Integrais Indefinidas

A derivada de algumas funções tem o objetivo de encontrar a própria função, esse método é conhecido por antiderivação ou integração indefinida.

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

∫a33 + 3a3+ 3a da ?

∫13a3da+∫3 1a3 da+∫31a da =

13∫a3da+3∫1a3 da+3∫1a da =

13a3+13+1 + a-3+1 -3+1+3 ln|a|+C =

13a44 + a-2-2+ 3 lna+C =

a412 - 32 a2+ 3 lna+C

Portanto, alternativa correta é a letra (b)

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

(a) C(q) 10.000 1.000q 25q2

(b) C(q) 10.000 25q 1.000q2

(c) C(q) 10.000q2

(d) C(q) 10.000 25q2

(e) C(q) 10.000q q2 q3

C’ (q) = 1000 + 50 q c (0) = 10000

∫1000+50qdq=

1000∫50q1+11+1dq=

1000 q+50q22+C

1000 q+05 q2+C

C0=10000

C0=1000*0+05 (0)2+10000

C0=0+0+10000

C0=10000

Expressando C(q), Cq=10000+1000 q+25 q2

Portanto a alternativa q expressa C(q), é a alternativa (a).

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: Ct=16,1e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

1992 – 1990 = 2 anos

1994 – 1990 = 4 anos

Ct=16,1e0,07t

2416,1e0,07tdt=

16,124e0,07tdt=

16,1e0,07t0,0742

16,1e0,07*40,07- 16,1e0,07*20,07=

16,1e0,280,07- 16,1e0,140,07=

304,31- 264,55=39,76

Portanto a alternativa que corresponde a quantidade de petróleo vendido entre 1992 e 1994 é alternativa letra (c).

Desafio D

A área sob a curva y=ex2 de x=-3 a x=2 é dada por:

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

y=ex2 x -3,2

∫ex2=

2 ex22-3

2 e22 - 2 e-32=

5,43 - 0,44=4,99

Portanto