Tabela verdade

...

V V V

V F V

F V V

F F F

p_q l^e-se \p ou q".

Condicional: (s mbolo: !)

p q p!q

V V V

V F F

F V V

F F V

p!q l^e-se \se p ent~ao q".

Bicondicional (s mbolo: $)

p q p$q

V V V

V F F

F V F

F F V

p$q l^e-se \p se e somente se q".

De nic~ao 5 Dizemos que duas proposic~oes P(p,q,: : :) e Q(p,q,: : :) s~ao equi-valente se elas possuem a mesma tabela-verdade.

Exemplo 6 Sejam p e q s~ao duas proposic~ao. p!q e equivalente a :q! :p. Construindo a tabela-verdade:

p q :q :p p!q :q! :p

V

V F F V V

V F V F F F

F V F V V V

F F V V V V

3

Observac~ao 7 Gracas a esse exemplo, ao inves de mostrarmos uma a rmac~ao do tipo \se p ent~ao q", podemos mostrar sua forma equivalente \se n~ao q ent~ao n~ao p". Uma demonstrac~ao desse tipo e chamada de prova pela contra-positiva.

Agora, vejamos como demonstrar algumas igualdades de conjuntos usando tabela verdade. Lembre que a uni~ao corresponde ao conectivo \ou" e a in-tersecc~ao corresponde ao conectivo \e".

Exemplo 8 A [ ; = A

Seja p: x 2 A e q: x 2 ; e note que q assume apenas o valor logico F . Nossa igualdade e o mesmo que p_q e equivalente a p.

p q p_q

V F V

F F F

Exemplo 9 A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

Neste caso as proposic~oes s~ao p: x 2 A, q: x 2 B e r: x 2 C. Nossa igualdade se transforma em p_(q^r) e equivalente a (p_q)^(p_r)

p q r p_q p_r q^r p_(q^r) (p_q)^(p_r)

V V V V V V V V

V V F V V F V V

V F V V V F V V

V F F V V F V V

F V V V V V V V

F V F V F F F F

F F V F V F F F

F F F F F F F F

Refer^encias

[1] Cezar A. Mortari, Introduc~ao a Logica, Editora Unesp.

[2] Edgar de Alencar Filho, Iniciac~ao a Logica Matematica, Editora Nobel.

[3] Elon Lages Lima, Curso de Analise Volume 1, Projeto Euclide, IMPA.