MATRIZES, DETERMINANTES, SISTEMAS DE EQUAÇÃO LINEARES E PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA

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1.3.6 Multiplicação de número real por matriz.....................................................................08

1.3.7 Multiplicação de matriz por matriz..............................................................................09

2 DETERMINANTES........................................................................................................12

2.1 Teorema de Laplace......................................................................................................13

2.2 Regra de Sarrus.............................................................................................................15

2.3 Regra de Chió................................................................................................................17

2.4 Propriedades..................................................................................................................18

3 EQUAÇÃO LINEAR.......................................................................................................22

3.1 Sistemas de Equações Lineares....................................................................................22

3.2 Solução de um Sistema Linear.....................................................................................23

3.3 Classificação de um Sistema Linear............................................................................24

3.4 Associando um Sistema Linear a uma Matriz............................................................24

3.5 Método do Escalonamento...........................................................................................26

4 PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA.............................................................................27

5 CONCLUSÃO..................................................................................................................29

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................30

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1 MATRIZ

Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção.

[pic 1]

Vejamos mais detalhadamente o resultado desta convenção.

[pic 2]

Em termos gerais: uma matriz m x n, com m e n números naturais não nulos, é toda tabela composta por m. n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

1.1 Representação

Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C, ...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a11 a12 a13 ... amn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado.

Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida:

[pic 3]

Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento aij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a32 → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (aij) m x n.

1.2 Tipos de matrizes

1.2.1 Matriz quadrada

Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por An.

Exemplos:

[pic 4]

1.2.2 Matriz triangular

Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero).

Exemplos:

[pic 5]

Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida.

1.2.3 Matriz diagonal

A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e baixo da diagonal principal são nulos.

[pic 6]

1.2.4 Matriz identidade

Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por In.

[pic 7]

1.2.5 Matriz nula

Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0m x n; caso ela seja quadrada, indica-se por 0n.

[pic 8]

1.2.6 Matriz linha

É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1.

[pic 9]

1.2.7 Matriz coluna

É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = 1.

[pic 10]

1.3