MOMENTO DE INÉRCIA: UMA APLICAÇÃO DO CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL

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- METODOLOGIA

Como percurso metodológico, a pesquisa embasa-se em um uma revisão teórica dos assuntos abordados ao longo do trabalho. A discussão dos mesmos é de caráter qualitativo e, de acordo com Gil (2008), o tipo de pesquisa classifica-se como bibliográfica devido ao fato de que o material base para sua realização é de artigos científicos e livros já publicados.

- DESENVOLVIMENTO

Em um experimento empírico, uma pessoa é posta em rotação a uma determinada velocidade com os seus braços juntos ao corpo. Em um dado momento, o indivíduo abre os braços e, nesse instante, percebeu-se que a velocidade em que o mesmo rotacionava diminuiu consideravelmente.

Tomando base na observação do fenômeno comentado, notou-se que com a abertura dos braços, o indivíduo distanciou parte da sua massa de seu eixo de rotação, em contrapartida, quando mantinha os braços juntos ao seu corpo deixava toda sua massa próxima ao mesmo.

Nesse sentido, de acordo com os conceitos básicos da mecânica clássica, o distanciamento de parte de sua massa de seu eixo de rotação proporcionou uma maior resistência a continuação do movimento, denominada de inércia rotacional ou momento de inércia (HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 2006).

O momento de inércia é uma propriedade de um conjunto de partículas ou dos corpos rígidos, determinada a partir de uma lei que relaciona a distribuição de massa em torno de um eixo de rotação.

A Equação 1 representa o momento de inércia em função de sua distância r do eixo de rotação para uma carga pontual de massa m.

[pic 1] (1)

A unidade de medida do momento de inércia é obtido pela análise dimensional da Equação 1, sendo dada por quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Para o caso de um sistema de partículas, a inércia rotacional é determinada a partir da soma da contribuição individual de cada partícula, assim como apresentada na Equação 2.

[pic 2] (2)

No entanto, nos estudos dos materiais conduzidos pela engenharia, por exemplo, os objetos não são tratados unicamente como uma simples partícula, e sim por um corpo rígido, ou seja, um conjunto finito de partículas de massa mi, distam ri do eixo de rotação e que possuem o mesmo deslocamento angular quando postas em rotação. Nesse tipo de situação, de forma semelhante a apresentada na Equação 2, o momento de inercia é dado pela contribuição individual de cada componente girante, entretanto, para um número muito grande partículas o somatório se reescreve como uma integral, conforme a Equação 3.

[pic 3] (3)

Com auxílio da Equação 3, pode-se determinar o momento de inércia para corpos rígidos como fios delgados, anéis, discos, cilindros, esferas, etc. Nesse contexto, a sequência deste trabalho se dá com a demonstração dos casos mais simples dessa aplicação.

- Momento de inércia de um anel

Para um anel de massa M, raio R e que rotaciona em torno de seu centro de massa, é possível reescrever a diferencial de massa da Equação 3 na forma:

[pic 4]

Onde [pic 5] corresponde a densidade linear do anel. Aplicando esta conclusão na Equação 3, vem que,

[pic 6]

Considerando que a densidade linear do anel é constante e que todas as partículas que o compõem distam igualmente R do eixo de rotação, tem-se:

[pic 7]

Integrando a Equação anterior de forma a varrer todo o comprimento do anel, aplica-se 0 como limite inferior e [pic 8]no superior, pode-se chegar ao seguinte resultado:

[pic 9]

Substituindo a densidade linear de um material como a razão entre sua massa pelo seu comprimento,

[pic 10]

Por fim, após as devidas simplificações, é possível chegar Equação 4. A mesma configura-se como o momento de inércia de um anel delgado que rotaciona em torno do seu centro de massa.

[pic 11] (4)

- Disco fino que com eixo de rotação coincidente ao seu centro

Para um disco fino que rotaciona em um eixo que passa pelo seu centro, é possível calcular o seu momento de inércia a partir da sobreposição de anéis delgados de espessura dx e de comprimento [pic 12], conforme mostrado na Figura 1.

Figura 1 – (a) Disco fino que rotaciona em torno de seu centro. (b) Vista superior e representação do anel com largura infinitesimal. (c) Retângulo de largura infinitesimal.

[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Fonte: Curso Interativo de Física na Internet.[1]

Retomando os fatos citados, pode-se diferenciar a Equação 4 (no caso de um disco de largura infinitesimal dx e raio x), ficando com:

[pic 17] (5)

Substituindo a diferencial de massa dm pelo densidade superficial do objeto, juntamente com a diferencial de área e integrando em ambos os membros da Equação 5, vem que:

[pic 18]

Assim como mostrado na Figura 1(c), pode-se reescrever também a diferencial de área imaginando um corte no anel que visa transformá-lo em um retângulo de comprimento [pic 19]e de largura dx.

[pic 20]

Os limites de integração para o caso do disco varia de 0 até o comprimento total do raio R, varrendo todo eixo radial. Logo,

[pic 21]

De forma semelhante ao procedimento realizado no cálculo do momento de inércia de um anel, deve-se reescrever também a densidade superficial do objeto como sendo a razão entre a sua massa e a área.

[pic 22]

Finalmente, após as devidas simplificações, a Equação 6 apresenta momento de inércia para um disco fino de massa M, raio R, que rotaciona em torno de seu centro de massa.

[pic 23] (6)

- Momento de Inércia de um cilindro com eixo que