Cálculo do Momento de Inércia em Uma Figura Plana Simples

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Fórmulas para cálculo do momento de inércia em algumas figuras geométricas

[pic 3]

- Cálculo do momento de inércia em uma figura plana simples

[pic 4]

Para calcular o momento de inércia da figura acima, utilizamos a seguinte fórmula:

I = [pic 5]

b = Base (será sempre paralela ao eixo de referência)

h = altura

A = área

D= distância da fibra mais afastada

Assim, temos:

Ix = [pic 6]

Iy = [pic 7]

Obs: D= 0, pois os eixos x e y passam pelo centro de gravidade da figura.

Com base nos cálculos, podemos concluir que o objeto tem mais facilidade para girar em torno do eixo y do que no eixo x.

- Centro de gravidade em figuras planas compostas

Se uma área for simétrica em torno de um eixo, o centroide deve estar nesse eixo porque o primeiro momento sobre um eixo de simetria é igual a zero. Por exemplo, o centroide de uma área unicamente simétrica mostrado abaixo deve estar no eixo x, que é o eixo de simetria. Por isso, apenas uma coordenada deve ser calculada para localizar o centroide C.

[pic 8]

Se uma área tem dois eixos de simetria como ilustrado abaixo, a posição do centroide pode ser determinada por inspeção porque ele fica na interseção dos eixos de simetria.[pic 9]

Uma área do tipo ilustrado na figura abaixo é simétrica em relação a um ponto. Ela não apresenta eixos de simetria. Mas há um ponto (chamado de centro de simetria) de forma que toda linha desenhada através desse ponto intercepta a área de maneira simétrica. O centroide dessa área coincide com o centro de simetria e por isso o centroide pode ser localizado por inspeção.

[pic 10]

Em engenharia raramente precisamos localizar centroides através de integrações, porque os centroides de figuras geométricas comuns já são conhecidos e tabulados. Entretanto, frequentemente precisa-se localizar os centroides de áreas compostas de várias partes, cada parte tendo um formato geométrico familiar como um retângulo ou um círculo. Exemplos de tais áreas compostas são as seções transversais de vigas e colunas, que geralmente consistem de elementos retangulares.

As áreas e os primeiros momentos de áreas compostas podem ser calculados somando as propriedades correspondentes das partes dos componentes. Vamos assumir que uma área composta é dividida em um total de n partes e vamos denotar a área da t- ésíma parte por A. Então podemos obter a área e os primeiros momentos através dos somatórios seguintes:

[pic 11]

Equação 1[pic 12][pic 13]

Figura A Figura B

em que xi e y, são as coordenadas do centroide da i-ésima parte. As coordenadas do centroide da área composta são:

[pic 14]

Equação 2

Uma vez que a área composta está representada exatamente pelas n partes, as equações anteriores fornecem resultados exatos para as coordenadas do centroide.

Para ilustrar o uso das equações (1 e 2), considere a área em formato de L (ou seção em ângulo mostrada na figura (A). Essa área tem dimensões laterais h e c e espessura t. A área pode ser dividida em dois retângulos de áreas A1 e A2 com centroides C1 e C2 respectivamente (figura B). As áreas e coordenadas centroidais dessas duas partes são:[pic 15]

Por isso, a área e os primeiros momento s da área composta das equações (1 e 2) são:[pic 16]

Finalmente, podemos obter as coordenadas x e y do centroide C da área composta conforme a figura (B) a partir das equações (1 e 2):

[pic 17]

Nota 1: Quando uma área composta é dividida em apenas duas partes, o centroide C de toda a área fica na linha que une os centroides C1 e C2 das duas partes (como ilustrado na Figura B para a área em formato de L).

Nota 2: Ao usar fórmulas para áreas compostas (equações 1 e 2), podemos lidar com a ausência de uma área através de subtração. Esse procedimento é útil quando existem cortes ou buracos na figura. Por exemplo, considere a área ilustrada na Figura 3. Podemos analisar essa figura como uma área composta subtraindo as propriedades do retângulo interno efgh das propriedades correspondentes do retângulo externo abcd. (De outro ponto de vista, podemos pensar no retângulo externo como uma "área positiva" e no retângulo interno como uma "área negativa".) De forma similar, se uma área tem um furo (figura 4), podemos subtrair as propriedades da área do furo daquelas do retângulo externo. (Novamente, o mesmo efeito é alcançado se tratarmos o retângulo externo como uma "área positiva" e o furo como uma "área negativa").

[pic 18][pic 19]

Figura 3 Figura 4

- Cálculo do momento de inércia em uma figura plana composta

[pic 20]

Para calcular o momento de inércia da figura acima, primeiramente a dividimos em 3 figuras simples:

[pic 21]

Em seguida aplicamos a fórmula do momento de inércia de cada figura, em seguida somamos as 3 inércias:

Ix(A) = [pic 22]

Ix(B) = [pic 23]

Ix(D) = [pic 24]

Ix(TOTAL) = 1425000000+50000000+1425000000 = [pic 25]

Iy(A) = [pic 26]

Iy(B) = [pic 27]

Iy(D) = [pic 28]

Iy (TOTAL)= 1900000000 + 1800000000 + 1900000000