Calculo diferencial

...

Sejam as expressões analíticas: [pic 44], [pic 45],.... se a dependência funcional for [pic 46] então [pic 47], [pic 48]

I – Funções elementares principais

- Função potência: [pic 49],

- Função exponencial [pic 50]

- Função logarítmica: [pic 51]

- Funções trigonométricas: [pic 52], [pic 53], [pic 54], [pic 55]

- Funções trigonométricas inversas: [pic 56], [pic 57], [pic 58], [pic 59]

II – Funções algébricas

As funções algébricas compreendem:

- Função racional inteira ou polinómio: [pic 60]

- Fracções racionais: quaciente de dois polinómios [pic 61]

- Função irracional: [pic 62] é irracional se [pic 63]for resultado das operações multiplicação, divisão e de elevação a uma potência racional não inteira: [pic 64]

Propriedades fundamentais da função

- Função par: uma função diz-se par se [pic 65]

- Função ímpar: uma função diz-se ímpar se [pic 66]

- Função periódica: uma função diz-se periódica se [pic 67]

Exemplos: [pic 68] [pic 69]

Limite duma função num ponto

- Limite duma grandeza variável: O número constante a chama-se limite da grandeza variável x se para todo e qualquer número arbitráriamente pequeno Ɛ>0 pode se ter x tal que [pic 70]e escreve-se [pic 71].

Exemplo: [pic 72][pic 73], [pic 74],....., [pic 75] mostrar que limite é igual a 1. Far-se-á [pic 76] para Ɛ>0 arbitrário, todos os valores a partir de n definido pela relação [pic 77] ou [pic 78]verifica-se a desigualidade [pic 79]

- Limite duma função: A função [pic 80] tende para o limite b [pic 81]quando x tende para a [pic 82], se para cada número posiivo Ɛ, se pode indicar um número positivo [pic 83]tal que para todos [pic 84]e verificando a desigualdade[pic 85]a desigualdade [pic 86]é satisfeita.

[pic 87]ou [pic 88]quando [pic 89]

Limites laterais

Limite lateral à esquerda: [pic 90]limite da função f quando x tende para o valor a pela esquerda, i.e. tende para a com valores menores que a.

Limite lateral à direita: [pic 91]limite da função f quando x tende para o valor a pela direita, i.e. tende para a com valores maiores que a.

Quando os limites laterais de y=f(x) são iguais no ponto a a função tem limite naquele ponto i.e. [pic 92]

Mostremos que [pic 93]

Seja [pic 94]arbitrário. Para que a desigualdade [pic 95]seja satisfeita é necessário que [pic 96] sejam satisfeitas as deigualdades [pic 97]

Definição: A função [pic 98]tende para o limite b quando [pic 99]se para cada Ɛ>0 se pode indicar um número positivo N tal que para todo o valor de x verificando a desigualdade [pic 100] a desigualdade [pic 101]é satisfeita.

Exemplo: Mostrar que [pic 102]

Resolução: [pic 103] será satisfeita se [pic 104][pic 105][pic 106]é satisfeita se [pic 107], isto significa que [pic 108]

Funções que tendem para o infinito

A função y=f(x) tende para o infinito quando[pic 109] i.e. f(x) é infinitamente grande quando [pic 110], se para cada M>0 por maior que seja , encontrar-se-à um [pic 111]tal que para todos os valores de x diferentes da ae verificando a condição [pic 112]a condição [pic 113]é satisfeita. Escreve-se [pic 114]

Exemplo: Mostrar que [pic 115]

Resolução: Qualquer que seja M>0 é válido que [pic 116]sempre que [pic 117]

Exercitação: Mostre que [pic 118]

Infinitamente pequenos e suas propriedades fundamentais

Definição: [pic 119] é um infinitamente pequeno quando [pic 120] se [pic 121].

Exemplos

- [pic 122] quando [pic 123] é um infinitamente pequeno

- [pic 124] quando [pic 125] é um infinitamente pequeno

Teorema 1: Se a função [pic 126] for posta na forma de soma duma constante b com um infinitamente pequeno[pic 127] então [pic 128]

Exemplo: [pic 129]

Teorema 2: Se [pic 130] tende para zero quando [pic 131](ou [pic 132]) e não se anula, então [pic 133] tende para o infinito.

Exemplo: [pic 134]se [pic 135]ter-se-à: [pic 136] e [pic 137] e [pic 138]

Teorema 3: A soma algébrica dum número finito de infinitamente pequenos é um infinitamente pequeno.

Exemplo: [pic 139], [pic 140] então [pic 141]é infinitamente pequeno

Teorema 4: O produto dum infinitamente pequeno [pic 142]por uma função limitada [pic 143]é um infinitamente pequeno.

Exemplo: [pic 144]e [pic 145]resulta que [pic 146] e [pic 147]de facto o produto é infinitamente pequeno.

Corolário 1: Se [pic 148]

Corolário 2: Se [pic 149]

Teorema 5:O quociente [pic 150] dum infinitamente pequeno [pic 151] da função limitada [pic 152] com limite [pic 153]é infinitamente pequena.

Ex: [pic 154], [pic 155] qdo [pic 156] então [pic 157]

Teoremas fundamentais sobre os limites

Teorema 1:O limite da soma algébrica de dois, de três ou dum número finito de variáveis é igual à soma algébrica dos limites destas variáveis. E escreve:

[pic