Caderno Cálculo A

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- B) senA*cosB - senB*cosA

cos(A + B) cosA*cosB - senA*senB

cos(A - B) cosA*cosB + senA*senB

Limite !

Limites laterais de uma função:

Dada a função: ƒ(x) = xˆ2

lim xˆ2 = 4 (x -> 2+) == O limite da função ƒ(x)=xˆ2, quando x tende a dois pela direita (valores próximos de 2, mas menores que dois) é igual a quatro

lim xˆ2 = 4 (x -> 2-) == O limite da função ƒ(x)=xˆ2, quando x tende a dois pela esquerda (valores próximos de 2, mas maiores que dois) é igual a quatro

lim xˆ2 = 4 (x ->2) == O limite da função ƒ(x)=xˆ2, quando x tende a dois pela esquerda ou direita é igual a quatro

Generalizando:

lim ƒ(x) = L (x -> a)

Se, e somente se:

lim ƒ(x) = L (x -> a+)

lim ƒ(x) = L (x -> a-)

Cálculos dos Limites:

O limite da soma de duas funções é igual ao limite de uma mais o limite da outra

O limite de uma constante vezes uma função é igual ao limite da função vezes a constante

O limite da multiplicação de duas funções é igual ao limite de uma vezes o limite da outra

O limite da razão de duas funções é igual ao limite de uma dividido pelo limite da outra

O limite de uma constante é igual a própria constante

Métodos de resolução de limite:

Propriedade da substituição direta: Se ƒ for uma função polinomial ou racional (continuidade em cima do ponto), e a estiver no domínio de ƒ,

Então:

lim ƒ(x) (x -> a) = ƒ(a)

Caso haja descontinuidade a equação deverá ser simplificada

Ou então deve ser feita uma analise do ponto, logo: deve ser feita uma analise: lim ƒ(x) (x -> a+) lim ƒ(x) (x -> a-)

Em último caso utiliza-se o teorema do confronto: se ƒ(x)≤ g(x) ≤ h(x), quando x -> a e lim ƒ(x) (x -> a) = L, bem como lim h(x) (x -> a) = L, logo lim g(x) (x -> a) = L

Entretanto, para x -> ∞, deve-se observar cada expressão se esta for uma razão multiplica-se o numerador e o denominador por x elevado ao maior expoente da expressão

Limite Exponencial:

lim(x -> ∞) ƒ(x) = (1+1/x)ˆx = e

Limite Fundamental Trigonométrico:

coø < senø/ø < 1 => lim (ø -> 0) senø/ø = 1

***** lim(x -> 0) (e.ˆx - 1)/x = 1

Continuidade

Definição:

• ƒ(x) é continua em a, se lim ƒ(x) (x -> a) = ƒ(a)

• ƒ(x) é continua em a pela direita, se lim ƒ(x) (x -> a+) = ƒ(a)

• ƒ(x) é continua em a pela esquerda, se lim ƒ(x) (x -> a-) = ƒ(a)ƒ(x) é continua em um intervalo, se for contínua em todos os números do intervalo

Diferencial:

Descobrindo a derivada:

*inclinação da reta secante à ƒ(x) nos pontos (ya, a) = taxa de variação = m = ∆y/∆x = (y - ya)/(x - a) =>

=> taxa de variação instantânea = Derivada = ƒ(x) em x=a

=> lim (x -> a) [ƒ(x) - ƒ(a)]/ (x - a)

=> ƒ’(x) = lim (h -> 0) [ƒ(x +h) - ƒ(x)]/ (h)

Exemplo:

1) Calcule a inclinação da reta tangente à parábola y = xˆ2 -8x +9 no ponto (3;-6)

m = lim (x ->3) (xˆ2 -8x +9 +6)/(x -3) = lim (x ->3) (x-5) = -2

2) Encontre a derivada da função ƒ(x) = xˆ3 +1

ƒ’(x) = lim (h -> 0) [ (x+h)ˆ3 +1 - (xˆ3 +1) ]/h =>

=> lim (h -> 0) h(3x.h + 3xˆ2 + hˆ2)/h =>

=> ƒ’(x) = 3xˆ2

**Obs.: encontrar a taxa de variação basta substituir na função ------------------------------------------------------------------------------------------

Regras de Diferenciação:

Regras básicas:

*ƒ(x) = F(x) + g(x) => ƒ’(x) = F’(x) + g’(x)

*ƒ(x) = F(x) - g(x) => ƒ’(x) = F’(x) - g’(x)

Regra do produto:

*ƒ(x) = F(x) * g(x) => ƒ(x) = F’(x) * g(x) + F(x) * g’(x)

Regra do quociente:

*ƒ(x) = F(x) / g(x) => ƒ(x) = [F’(x) * g(x) - F(x) * g’(x)] / g(x)ˆ2

Regras trigonométricas:

*ƒ(x) = senx => ƒ’(x) = cosx

*ƒ(x) = cosx => ƒ’(x) = -senx

*ƒ(x) = tgx => ƒ’(x) = secxˆ2

*ƒ(x) = secx => ƒ’(x) = secx * tgx

*ƒ(x) = cossecx => ƒ’(x) = -cossecx * cotg

*ƒ(x) = cotg => ƒ’(x) = -cossecxˆ2

Regras trigonométricas inversas:

*ƒ(x) = arc sen x => ƒ’(x) = x’/(1 – x^2)^(1/2)

*ƒ(x) = arc cos x => ƒ’(x) = -x’/(1 – x^2)^(1/2)

*ƒ(x) = arc tg x => ƒ’(x) = x’/(1 + x^2)

** ∫1/(xˆ2 + aˆ2) = (1/a)*arc tg (x/a) + c

*ƒ(x) = arc cosec x => ƒ’(x) = -x’/[|x| (1 + x^2)^(1/2)]