APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E DE SEGUNDA ORDEM.

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O estudo das propriedades da equação das ondas resulta do trabalho de alguns dos maiores matemáticos do século XV III como D'Alembert, Daniel Bernoulli (filho de Johann), Euler e Joseph-Louis Lagrange.

A equação das ondas, também chamada de equação das cordas vibrantes, apareceu em 1747 num artigo do filósofo e matemático D'Alembert. Euler e D'Alembert chegaram à conclusão que as soluções da equação deveriam ser a sobreposição da propagação de duas funções em sentidos opostos com velocidades iguais. Já D. Bernoulli, entre 1751 e 1753, apresentou as soluções por séries trigonométricas. Este usou os métodos de Euler para estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções.

O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações.

Entre os anos de 1762 e 1765, Lagrange mostrou que a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de grau n é uma combinação linear de n soluções independentes. A observação que uma equação diferencial de coeficientes constantes de ordem n é equivalente a um sistema de primeira ordem foi feita pela primeira vez por D'Alembert e a noção de conjunto fundamental deve-se a Lagrange. A redução de ordem de uma equação diferencial linear a partir de uma solução conhecida foi aplicada pela primeira vez, também, por D'Alembert.

O matemático Lagrange desenvolveu a análise teórica das vibrações de uma corda de comprimento L fixa nas extremidades. Esteve perto de chegar ao resultado de que qualquer forma da corda entre os seus extremos pode ser escrita por uma soma infinita. Mas, foi Jean Fourier quem chegou ao resultado enquanto estudava o problema da condução de calor por um material em que seja mantida uma diferença constante entre duas das suas extremidades.

A primeira prova da convergência de séries de Fourier em condições relativamente gerais foi feita em 1829 por Dirichlet, com a introdução do núcleo de Dirichlet para representar as somas parciais da série.

Cauchy foi o primeiro a definir completamente as ideias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais.

Gauss reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados importantes das equações diferenciais aplicadas.

Em 1835, Liouville estabeleceu que apenas uma classe restrita de equações diferenciais pode ser resolvida em termos de funções elementares.

O teorema de existência e unicidade de Picard tem raízes no trabalho de Cauchy por volta de 1820 e de Lipschitz em 1876. A demonstração baseada em aproximações sucessivas, no caso geral, deve-se a Picard e a Lindelof. Já a prova de existência de soluções de problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem quando a função que define a equação é contínua deve-se a Peano, em 1886 para equações escalares e em 1890 para equações vetoriais.

A partir dos meados do século XX, com o progressivo aumento das capacidades de cálculo com recurso aos computadores, tornou-se possível resolver numericamente uma grande classe de equações diferenciais.

O aparecimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes deu-se com Carl Runge que, juntamente com Martin Kutta, desenvolveu métodos numéricos para a resolução de problemas de valores iniciais.

O estudo das equações diferenciais originou o desenvolvimento de muitas outras áreas como, por exemplo, Álgebra Linear, Análise Funcional, Análise Numérica, Cálculo de Variações, Dinâmica de Fluidos, Teoria do Controlo, Mecânica Quântica, entre outras.

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- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

- Definição

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com suas derivadas. Em outras palavras, uma equação diferencial estabelece a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a equação e, frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o valor da função em qualquer valor posterior da variável independente. Em particular, na descrição de um sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação diferencial correspondente permite prever o comportamento futuro do sistema.

- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM

As Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira Ordem podem ser escritas da seguinte forma:

[pic 5]

Onde p: (a; b) →R e q: (a; b) →R são funções contínuas, definidas em um intervalo aberto (a; b).

Uma função y: (a; b) →R é uma solução da equação anterior, se ela for diferençável e satisfazer a equação

Y’=[pic 6]

Onde y’ é a derivada de y com relação a variável independente t.

Analisando a equação q(t) podemos observar dois problemas básicos.

1. Determinar a solução geral da equação q(t)

2. Determinar a solução do problema de valor inicial (PVI)

[pic 7]

onde, t0 ϵ (a; b) e y0 são os dados iniciais. Veremos ainda que o problema de valor inicial possui uma e somente uma solução.

Quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem obtemos uma família de solução que dependem de uma constante arbitrária.

O tipo mais simples da equação q(t) é a equação de crescimento exponencial.

[pic 8]

onde k é uma constante.

A função y(t) = eKT é uma solução de ky, assim como qualquer de seus múltiplos ceKT, onde c é uma constante arbitrária.