A Área superficial e volume da batata

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[pic 10]

Esferoide prolato Esferoide oblato Esfera

Este trabalho teve como objetivo mensurar a área superficial e o volume de uma batata aplicando os conceitos de interpolação, integração numérica e ajuste de curvas.

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5. Referencial Teórico

Interpolação

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).

A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo:

- Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado.

- Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

Integração numérica

Sabemos do Cálculo Diferencial e Integral que se f(x) é função contínua em [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F(x) tal que F’(x) = f(x). Assim , no entanto, pode não ser fácil expressar esta função primitiva por meio de combinações finitas de funções elementares, como, por exemplo, a função , cuja primitiva F(x) que se anula para x = 0 é chamada função de Gauss.[pic 11][pic 12]

Existe ainda o caso em que o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a,b]. Como não conhecemos a expressão analítica de f(x), não temos condição de calcular .[pic 13]

Regra dos trapézios

Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio que interpola f(x) em e temos[pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Assim, , que é a área do trapézio de altura e bases e . [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Regra 1/3 de Simpson

Podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2. Seja o polinômio que interpola f(x) nos pontos , e :[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

.[pic 26]

Assim,

.[pic 27]

Resolvendo as integrais obtemos a regra 1/3 de Simpson:

[pic 28]

Ajuste de Curvas

Uma das formas de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação polinomial. Contudo, a interpolação não é aconselhável quando:

- É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar.

- Os valores tabelados são resultados de algum experimento físico ou de alguma pesquisa, porque, nestes casos, estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis.

Surge então a necessidade de se ajustar a estas funções tabeladas uma função que seja uma "boa aproximação" para os valores tabelados e que permita extrapolar com certa margem de segurança.

O problema do ajuste de curvas no caso em que temos uma tabela de pontos , f), , f),..., , f) com , ,..., , pertencentes a um intervalo [a, b], consiste em: escolhidas n funções (x), (x),..., (x), contínuas em [a, b], obter n constantes α1, α2, ..., αn tais que a função ϕ(x) = α1g1(x) + α2g2(x) + ... + αngn(x) se aproxime ao máximo de f(x).[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

A escolha das funções pode ser feita observando o gráfico dos pontos conhecidos ou baseando-se em fundamentos teóricos do experimento que nos forneceu a tabela. Portanto, dada uma tabela de pontos (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ..., (xm, f(xm)), deve-se, em primeiro lugar, colocar estes pontos num gráfico cartesiano. O gráfico resultante é chamado diagrama de dispersão. Através deste diagrama pode-se visualizar a curva que melhor se ajusta aos dados.

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6. Tabelas com os dados

Corte (cm)

D1(cm)

D2 (cm)

D3 (cm)

Dm (cm)

0

0

0

0

0

1

4,5

3,6

3,9

4,0

2

5,3

4,4

5,0

4,9

3

6,0

4,9

5,2

5,36

4

6,3

5,1

5,5

5,63

5

6,4

5,2

5,4

5,66

6

6,4

5,3

5,6