CÁLCULO DO VOLUME DE UM CONE POR INTEGRAÇÃO

...

[pic 1][pic 2]

Fig. 1

[pic 3]

Para o cálculo do volume de um sólido o principio é o mesmo, porém ao invés de retângulos utilizam-se cilindros com eixo de revolução em “x”, este é o método dos discos para o calculo do volume de sólidos de revolução. Portanto tem-se que o raio desses cilindros pode ser f(x) e a altura igual a Δx.

[pic 4]

[pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Fig. 2

Sabe-se que o volume de um cilindro é calculado por:

[pic 9]

Sendo assim pode-se calcular o volume desses discos rotacionando a função que determina o perfil do sólido de revolução e fazendo Δx tender para o infinito que é quando sem tem o valor preciso do volume do sólido.

[pic 10]

Procedimento experimental

Para o experimento de construção do cone primeiramente teve-se como informações iniciais o valor de sua altura (h) e o volume (V) que o mesmo pode comportar.

Altura (h) = 60mm

Volume (V) = 250mL

[pic 11]

[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Fig. 3

O coeficiente de inclinação da reta é:

[pic 17]

A função da reta é obtida por:

[pic 18]

[pic 19]

Conforme o modelo para calculo de volume de um sólido descrito em (3) tem-se:

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Como o volume desejado é de 250mm e a altura do cone é de 60mm, substituindo em (6) tem-se a medida do raio:

[pic 28]

[pic 29] (7)

Dados para a construção do cone:

Calculo da geratriz (L) do cone

[pic 30]

[pic 31] (8)

Calculo do ângulo do cone desenvolvido ():

[pic 32]

[pic 33] (9)

Seqüência de montagem do cone:

[pic 34]

Foto 1 – Cone planificado

[pic 35]

Foto 2 - Cone dobrado:

[pic 36]

Foto 3 – Cone com água

Resultado e Discussão

Analisando toda a sequencia dos cálculos conforme foi descrito, desde o método para achar a função da reta que define a forma do cone em (5) até o método do cálculo por integração que possibilitou chegar-se ao modelo matemático do volume do cone conforme em (6), verificou-se que o volume de água que o mesmo pode comportar foi exatamente conforme o cálculo teórico.

Conclusão

Com o referido experimento demonstrado aqui conclui-se que conceitos muito antigos criados pelos mais antigos matemáticos e filósofos que já se ouviu falar, conceitos esses que serviram de base para novas técnicas desenvolvidas no calculo, tanto para o calculo de áreas como o de volume de sólidos, etc, e que hoje nos permitem calcular com exatidão dimensões de produtos das mais variadas formas e níveis de complexidade utilizando-se de princípios básicos e elementares como é o método da integração.