Lista de algebra linear

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invert´ıvel? Se ela for invert´ıvel, explicite a transformac¸a˜o linear T −1.

13. Para cada uma das transformac¸oes lineares F dadas, encontre uma base e a dimensao do nu´cleo e da imagem de F .

(a) F : R3 → R3 definida por F (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + 5y − 4z, x + 4y + z)

(b) F : R4 → R3 definida por F (x, y, z, t) = (x + 2y + 3z + 2t, 2x + 4y + 7z + 5t, x + 2y + 6z + 5t)

14. Seja F : R2 → R2 definido por F (x, y) = (4x + 5y, 2x − y).

(a) Encontre a matriz A que representa F na base canoˆnica E.

(b) Encontre a matriz B que representa F na base S = {u1, u2} = {(1, 4), (2, 9)}

(c) Encontre P tal que B = P −1AP

(d) A transformac¸a˜o F ´e invert´ıvel?

15. Seja T : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear definida pela matriz

.5 −1.

onde E ´e a base canoˆnica.

[T ]E = 2 4

(a) Encontre a matriz B que representa A em relac¸a˜o `a base S = {u1, u2} = {(1, 3), (2, 8)}

(b) Para v = (5, 6), encontre [v]S e [A(v)]S

(c) A transformac¸a˜o linear T ´e invert´ıvel?

16. Seja D o operador derivada. Cada um dos conjuntos a seguir ´e uma base de um espac¸o vetorial V de func¸o˜es. Encontre a representac¸a˜o matricial de D em cada base.

(a) {et, e2t, te2t}

(b) {1, t, sin 3t, cos 3t}

(c) {e5t, te5t, t2e5t}

*Todas as questo˜es foram retiradas dos livros:

Linear Algebra, 2nd ed - Kenneth Hoffman, Ray Kunze, 1971.

A´ lgebra Linear Colec¸a˜o Schaum (4a ed.) - Seymour Lipschutz e Marc Lipson.

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