Modelo de Black Litterman

...

Considere um investidor que escolhe as proporções (pesos) dos ativos (w) no tempo T a fim de maximizar a seguinte equação quadrática objetiva:

[pic 18]

Onde E e Var representam a média e a variância da taxa de retorno da carteira a ser realizado no tempo T + 1 e é o coeficiente relativo de aversão ao risco. Quando e V são conhecidos, os pesos ótimos da carteira são dados por:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

A utilidade máxima esperada é:

[pic 23]

Onde é o Índice de Sharpe ex ante da carteira tangente de ativos com risco. [pic 24]

Na prática, é impossível calcular porque e não são conhecidos. Portanto, a teoria de média-variância pode ser aplicada em dois passos. O primeiro, a matriz de média e covariância dos retornos dos ativos é estimada em dados observados. Isto significa que, dada uma amostra de T observações de retornos, os estimadores de máxima verossimilhança são:[pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

[pic 29]’

No segundo passo, as estimativas amostrais são tratadas com se fossem os verdadeiros parâmetros, e são aplicadas na equação (2) para calcular os pesos ótimos da carteira, assim:

[pic 30]

Este procedimento, entretanto, gera um problema de incerteza dos parâmetros, por serem estimados, e não os verdadeiros, usados para calcular os pesos ótimos da carteira. Como consequência, a utilidade relacionada com os pesos pode ser diferente da verdadeira utilidade, . [pic 31]

Considere que [pic 32] é o vetor de parâmetros desconhecidos [pic 33] e V. Matematicamente, este procedimento de dois passos maximiza a utilidade esperada condicional nos parâmetros estimados, denotados por [pic 34], como sendo iguais aos verdadeiros.

[pic 35]

Portanto, o risco da estimativa é ignorado.

A abordagem bayesiana trata [pic 36] como uma variável aleatória, sendo possível fazer inferências sobre sua função de distribuição de probabilidades. A carteira ótima bayesiana é obtida pela maximização da utilidade esperada sobre a distribuição preditiva. A fórmula de maximização é dada por:

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Onde [pic 40]é a utilidade de manter uma carteira [pic 41] no momento T + 1 e [pic 42] são os dados disponíveis no tempo T, [pic 43]) é a densidade preditiva dos retornos em T + 1 e [pic 44] é a densidade a posteriori de [pic 45] e [pic 46].

A fim de comparar as abordagens clássica e bayesiana, a utilidade esperada é maximizada sob as distribuições condicional e preditiva, respectivamente. Ao contrário da distribuição condicional clássica, a preditiva bayesiana estima seus erros por retirar das integrais os espaços paramétricos desconhecidos. O grau de incerteza sobre os parâmetros desconhecidos fará sentido nas soluções ótimas. Para a abordagem bayesiana, são consideradas as prioris sobre os parâmetros desconhecidos.

Para entender melhor a abordagem bayesiana, é necessário considerar as especificações das prioris sobre os parâmetros desconhecidos. A priori difusa em [pic 47] e [pic 48] considera:

[pic 49]

Assumindo que os retornos sobre os ativos com risco são normalmente distribuídos, a distribuição da posteriori é dada por:

[pic 50]

[pic 51]

O modelo de Black – Litterman

Black e Litterman (1992) assumem que o investidor começa com uma visão inicial do mercado, e adapta seu conhecimento de acordo com as mudanças através das regras bayesianas. Por exemplo, se as visões de mercado são baseadas no modelo CAPM, a carteira implícita é o índice peso-valor. Se o investidor possui visões idênticas ao mercado, a carteira de mercado será sua última escolha. ?????

E se o investidor possuir uma visão diferente do mercado? Black e Litterman (1992) propõem um modo de atualizar as visões do mercado com as do investidor. Baseado em visões de mercado, os retornos adicionais esperados são dados por:

[pic 52]

Onde [pic 53] é o peso do índice de ações e [pic 54] o coeficiente de aversão ao risco do mercado. Assuma que o verdadeiro retorno esperado seja normalmente distribuído com média [pic 55]:

[pic 56]

Onde [pic 57] é o desvio de [pic 58] em relação à [pic 59], normalmente distribuído com média zero e matriz de covariância[pic 60] com [pic 61] sendo um escalar indicando o grau de confiança em quão perto [pic 62] está em relação à [pic 63]. Se não houver visões sobre os futuros retornos das ações, e no caso especial em que [pic 64]=0, os pesos da carteira do investidor devem ser iguais a [pic 65], os pesos dos índices.

Black e Litterman (1992) consideram as visões sobre o desempenho das ações como uma equação de um único vetor:

[pic 66]

Onde [pic 67] é uma matriz K x N com K visões, [pic 68] é um K-vetor com as médias da priori da carteira, e [pic 69] é o vetor residual. As visões podem ser formadas através de notícias, eventos, análises econômicas, ativos de investimento. A matriz de covariância dos resíduos, [pic 70], mede o grau de confiança que o investidor tem em suas próprias visões.

Os autores obtêm retornos esperados e riscos bayesianos atualizados através de:

[pic 71]

[pic 72]

Substituindo [pic 73] por [pic 74] e colocando estas duas equações em (6), obtêm-se a solução de Black-Litterman para o problema de escolha da carteira.

Nota-se que o retorno esperado [pic 75]é uma média ponderada do retorno esperado de equilíbrio e do retorno esperado pelo investidor. De maneira intuitiva, quanto menor a confiança do investidor em suas prioris, mais perto [pic 76] estará do valor de equilíbrio, e mais perto a carteira de Black-Litterman estará