Valores e Vectores Próprios

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Exemplos 1. , pelo que é vector próprio de associado ao valor próprio .[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

pelo que é vector próprio de associado ao valor próprio .[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

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Determinação dos valores próprios de uma matriz

Pretende-se determinar para o qual exista tal que . Tem-se que:[pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55][pic 56]

A expressão (1) é um sistema homogéneo cuja matriz é : Como se procura uma solução , o sistema tem de ter soluções não nulas, isto é, tem de ser indeterminado. É sabido que um sistema homogéneo é indeterminado se e só se a característica da matriz do sistema é menor que ou, ainda, se o determinante da matriz é nulo. Assim, os valores próprios da matriz são os valores tais que ou tais que . É esta última equação, chamada equação característica de A, que se utiliza para o cálculo dos valores próprios. O determinante de é um polinómio denominado polinómio característico da matriz definida: [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

Assim, os valores próprios da matriz A são as raízes do polinómio característico de . [pic 67]

À matriz chama-se matriz característica de .[pic 68][pic 69]

Quando um valor próprio tem multiplicidade como raiz do polinómio característico, diz-se que tem multiplicidade algébrica :[pic 70][pic 71]

Observações 1.:

- O polinómio característico de A tem grau , pelo que tem no máximo raízes. Uma matriz de ordem tem, portanto, no máximo valores próprios.[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

- Uma matriz real pode não ter valores próprios reais. Por exemplo, as raízes do polinómio característico da matriz são e .[pic 76][pic 77][pic 78]

Vamos sistematizar o procedimento a seguir no cálculo dos valores e vectores próprios de uma matriz quadrada:[pic 79]

- Calcular o polinómio característico de , isto é, .[pic 80][pic 81]

- Resolver a equação para obter as raízes da equação característica (estas raízes são os valores próprios de ).[pic 82][pic 83][pic 84]

- Para cada valor próprio obtido no ponto anterior, resolver o sistema homogéneo[pic 85]

(as soluções não nulas deste sistema são os vectores próprios associados ao valor próprio ).[pic 86][pic 87]

Exemplo 2.

- Seja A=. A matriz característica de A é :[pic 88]

[pic 89]

pelo que o polinómio característico de A é

[pic 90]

cujas raízes são . Os valores próprios de A são , ambos com multiplicidade algébrica 1.[pic 91][pic 92]

- Seja . O polinómio característico de A é[pic 93]

,[pic 94]

Que tem raízes . Os valores próprios de A são , todos com multiplicidade algébrica 1.[pic 95][pic 96]

- Valores próprios da matriz identidade: A matriz identidade tem como matriz característica a matriz , que é uma matriz escalar em que os elementos da diagonal principal são iguais a . O polinómio característico de é e o único valor próprio de é , com multiplicidade algébrica .[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

- Valores próprios de uma matriz diagonal: Se é uma matriz diagonal, a sua matriz característica é também diagonal pelo que o polinómio característicos é e os valores próprios são , .[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]

- Valores próprios de uma matriz triangular: Se é uma matriz triangular (superior ou inferior), a sua matriz característica é também triangular pelo que o polinómio característico é e os valores próprios são , .[pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

- Valores próprios da transposta de uma matriz : [pic 113]

[pic 114]

Conclui-se que as matrizes e têm o mesmo polinómio característico e, portanto, os mesmos valores próprios.[pic 115][pic 116]

Depois de determinados os valores próprios de , para determinar os vectores próprios associados a um determinado valor próprio basta resolver o Sistema homogéneo . As soluções não nulas deste sistema são os vectores próprios da matriz associados a .[pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121]

Nota: Para um valor próprio , o sistema têm garantidamente soluções não nulas, pois foi determinado de modo a que o sistema fosse indeterminado.[pic 122][pic 123][pic 124]

Exemplos 3.

- A matriz A= (exemplo a) acima) tem valores próprios e . Vamos calcular a expressão geral dos vectores próprios associados a cada um dos valores próprios.[pic 125][pic 126][pic 127]

- :[pic 128]

Os vectores próprios de A associados a são soluções não nulas do sistema ,ou seja, as soluções não nulas do sistema homogéneo cuja matriz é[pic 129][pic 130]

[pic 131]

Que tem por solução geral [pic 132]

Os vectores próprios associados a são da forma .[pic 133][pic 134]

- :[pic 135]

Os vectores próprios de associados a 3 são as soluções não nulas do sistema ou seja , as soluções não nulas do sistemas homogéneo cuja matriz é [pic 136][pic 137]

[pic 138]

que tem por solução geral [pic 139]

Os valores próprios associados a 3 são da forma , .[pic 140][pic 141]

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