Estudo do Movimento Harmônico Simples para o Ensino Médio

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Função horária da velocidade

O ponto P realiza um MHS de amplitude A e pulsação ω.

[pic 24]

A componente de [pic 25] na direção do eixo é: v = v’ cos α = −ωA cos α

Mas, α e ϕ são complementares: cos α = sen ϕ

Logo, a função horária da velocidade é v = −ωA sen ϕ

[pic 26]

v = −ωA sen (ωt + ϕo)

Função horária da aceleração

No MCU, a aceleração é centrípeta e, portanto, radial no sentido para o centro.

[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

A componente da [pic 31] (aceleração centrípeta) na direção do eixo é

a = −ac cos ϕ

Mas, aC = ω2A

Assim, a função horária da aceleração é:

[pic 32]

a = −ω2A cos (ωt + ϕo)

Importante:

As velocidades e as acelerações no MHS podem ser positivas se estiverem orientadas no sentido de x e negativas se estiverem orientadas no sentido contrário de x. Portanto, negativo e positivo, para essas grandezas somente significam um sentido ou outro. Não podemos dizer, então que: −4 m/s é menor que +4 m/s, por exemplo.

Sabemos que as funções seno e co-seno oscilam entre −1 e +1. Esses valores nos fornecem, então, a velocidade e a aceleração máxima do MHS. O valor mínimo é obtido quando o seno ou co-seno vale zero que nos fornece velocidade e aceleração nulas.

Ou seja:

[pic 33][pic 34]

⎪vmáx⎪= ωA e ⎪amáx⎪ = ω2A

vmín = 0 e amín = 0

Período de um sistema massa mola

Entende-se por sistema massa-mola o conjunto de um corpo de massa m com uma mola de constante elástica k. Prende-se o corpo numa extremidade da mola e a outra extremidade num suporte fixo, e o conjunto é posto a oscilar, de modo que esse corpo realize um Movimento Harmônico Simples (MHS).

[pic 35]

A força elástica é a resultante das forças aplicadas no corpo, uma vez desprezados o atrito entre o corpo e a superfície e a energia dissipada na deformação da mola.

Fel = F = FR

Como F = k . x e FR = m . a, então: k x = m a

Do MHS, temos a = –ω2A cos (ωt + ϕo) e do MCU, temos ω = [pic 36], então:[pic 37]

x

k x = m |−ω2 . x|

k x = m[pic 38]x

k T2 = m (2π)2

[pic 39] ⇒ [pic 40][pic 41]

O período do sistema massa-mola depende da massa do corpo e da constante de mola. O período não depende da amplitude do MHS e nem do plano de vibração, ou seja, o período é o mesmo se o corpo oscilar na horizontal, vertical ou plano inclinado.

Período do pêndulo simples

Prende-se num suporte (teto) um fio e na extremidade deste um corpo de massa m que pende verticalmente. A seguir, afasta-se esse corpo da vertical de equilíbrio, abandonando-o, de modo a iniciar um movimento de vaivém, ou seja, um movimento periódico.

[pic 42]

Durante a oscilação do pêndulo, estão aplicadas no corpo duas forças: peso ([pic 43]) e tração ([pic 44]), onde [pic 45] é vertical e [pic 46] está aplicada na direção do fio.

[pic 47]

[pic 48]

FR = Tx = T sen θ → m|a| = T sen θ

P = Ty = T cos θ → m g = T cos θ

[pic 49]

|a| = g · tg θ

Do MHS, temos a = –ω2 · x

Para ângulos pequenos: sen θ ≅ tg θ

|a| = g · tg θ = g · sen θ

[pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

O período depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade. O período não depende da massa do corpo que oscila.

Note que ao fazermos a aproximação sen θ ≅ tg θ, estamos restringindo nossa fórmula do período apenas para pequenos ângulos de abertura (θ no máximo 5°).

O período do pêndulo se distancia do período encontrado na fórmula à medida que aumentamos o ângulo θ.

Para acertarmos um relógio de pêndulo que adianta ou atrasa, utilizamo-nos da fórmula acima.

Por exemplo, se um relógio está adiantado, devemos aumentar o seu período, para que ele demore mais para ir e voltar.

Para aumentar o período, devemos aumentar o comprimento do fio.

Energia do MHS

Energia potencial

Consideremos o sistema massa-mola esquematizado a seguir.

[pic 55]

A energia potencial ou de posição é dada por:

[pic 56]

[pic 57]

Energia mecânica

[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

Supondo que, no sistema oscilante, o trabalho das forças não-conservativas seja nulo, teremos a conservação da energia mecânica.

Na posição de elongação máxima (x = + A), o sistema possui energia