Trabalho de Análise Combinatória

...

(PUC-MG) As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M={3,4,6,7,8}. Nessas condições, é correto afirmar que o número máximo de apartamentos desse hotel é:

a) 24 b) 36 c) 44 d)50

Resolução: Pelo enunciado, percebemos que os números dos apartamentos do hotel são formados por 3 algarismos e que este número seja ímpar. Analisando, percebemos que para que o número formado seja ímpar, ele deve terminar em 3 ou 7 (dentre os números do conjunto citado no enunciado). Usando o princípio multiplicativo, temos as possíveis combinações:

[pic 2][pic 3][pic 4]

d

Como o número precisa ser ímpar, temos duas possibilidades na última casa (3 ou 7). Nas outras duas casas, como o número pode ser repetido, teremos 5 possibilidades em cada uma. Utilizando o princípio multiplicativo, temos: 5 . 5 . 2 = 50 números possíveis, logo, alternativa D.

Fatorial

Em algumas situações da análise combinatória, é necessário calcular o produto entre números naturais consecutivos. Para representar esses cálculos, utilizamos a notação n! (lê-se: “fatorial de n” ou “n fatorial”).

Um exemplo bem básico:

3! = 3.2.1 = 6

5! = 5.4.3.2.1 = 120

De maneira geral, temos:

n! = n.(n-1)!

1- Calcule .[pic 5]

Resolução: 10! 8! = 10.9.8! 8!. Simplificando o termo 8! no numerador e no denominador da fração, temos: 10.9 = 90.[pic 6][pic 7]

2- Simplifique a expressão (n+2)! n!.[pic 8]

Resolução: (n+2) n! = (n+2).(n+1).(n+0)! n! . Simplificando o termo n! no numerador e no denominador da fração, temos: (n+2).(n+1). Fazendo a distributiva, resultamos em n² +n +2n +2. Daí: n² +3n +2.[pic 9][pic 10]

Se vamos prestar um vestibular, nada melhor de resolver um exercício de vestibular deste tema.

3- (UFRJ-RJ) Seja n=20!. Determine o maior fator primo de n.

Resolução: Já sabemos que 20!= 20.19.18.17...1. Logo, podemos perceber que o maior fator primo do fatorial de 20 é o termo 19 (número primo mais elevado dentre os fatores de 20).

Arranjo Simples

Um arranjo é chamado simples quando não ocorre repetição de elementos em um agrupamento. Em arranjos simples, os agrupamentos se diferem pela ordem dos elementos.

Se pegarmos um arranjo simples de n elementos distintos tomados p a p, é todo agrupamento ordenado formado por p elementos escolhidos entre os n elementos dados.

Para isso, aplicamos a fórmula:

[pic 11]

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo

Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,3,5,7 e 9?

Resolução: Os números 153 e 315, por exemplo, possuem os mesmos algarismos, porém são diferentes, ou seja, a ordem tem que ser considerada. Nesse caso, cada número corresponde a um arranjo dos 5 algarismos, tomados 3 a 3. Resumindo: n=5 e p=3. Aplicando na fórmula, temos:

A 5,3 = 5! (5-3)! [pic 12]

A 5,3 = 5! 2![pic 13]

A 5,3 = 5.4.3.2! 2! Simplificando os dois termos da fração por 2!, temos:[pic 14]

A 5,3 = 5.4.3

A5,3= 60 algarismos.

Exemplo

Para acessar sua conta bancária via internet, uma pessoa tem de cadastrar uma senha composta por 5 caracteres distintos, dentre 32 disponíveis. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode cadastrar a senha?

Resolução: Podemos resolver este exercício utilizando o princípio multiplicativo ou o arranjo simples. Primeiro, vamos resolver com o princípio multiplicativo:

1º CARACTERE

2º CARACTERE

3º CARACTERE

4º CARACTERE

5º CARACTERE

32 possibilidades

31 possibilidades

30 possibilidades

29 possibilidades

28 possibilidades

Aplicando o princípio multiplicativo, temos: 32.31.30.29.28= 24 165 120 maneiras.

Ou, utilizando a fórmula do arranjo simples:

A 32,5= 32! (32-5)![pic 15]

A 32,5 = 32.31.30.29.28.27! 27! Simplificando ambos os termos por 27!, temos:[pic 16]

A 32,5= 32.31.30.29.28= 24 165 120 maneiras.

Permutação Simples

Seja E um conjunto com n elementos.

Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento de n elementos distintos de E.

Podemos também interpretar cada permutação de n elementos como um arranjo simples de n elementos tomados n a n, ou seja, p = n.

Sendo P o número de permutações simples, temos:

Pn = An,n Pn = n! Pn = n! Pn = n! Pn = n![pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

(n-n)! 0! 1!

Exemplo:

Quantos números de cinco algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 8?

Queremos formar números (agrupamentos) de 5 algarismos com os 5 algarismos dados (1, 3, 5, 7 e 8)

= P5 = A5,5