Resumo de topicos de matematica com exercicios

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EXEMPLOS

1 - Descubra o valor desconhecido em cada um dos breves enigmas.

a) Três números consecutivos somam 369. Determine esses números.

Solução: Como não sabemos que números são esses, vamos escrever de modo genérico tais números. Chamaremos de x, x+1 e x+2.

De acordo com a condição do problema temos x+x+1+x+2=369. Precisamos achar o x, não esquecendo que estamos numa balança em equilíbrio. Daí temos:

x+x+1+x+2=369.

3x+3=369 (precisamos retirar 3 unidades em ambos os membros da equação)

3x+3-3=369-3

3x=366 (precisamos agora dividir por 3 em ambos os membros da equação)

3x/3=366/3

X=122, agora conhecido. Portanto os números são: 122,123 e 124.

b) Qual é o número que adicionado a 5 é igual a sua metade mais 7?

Solução: Chamaremos de x o valor desconhecido. Do enigma vem que x+5=x/2+7. Temos 2 agravantes em relação ao exemplo a). O primeiro deles é que a variável x está presente nos dois membros da equação e o segundo é a presença de fração.

Vamos multiplicar em ambos os membros da equação acima por 2 para eliminar o denominador 2.

2(x+5)=2(x/2+7), (aplicando a propriedade distributiva temos):

2x+10=x+14, (subtraindo x em ambos os lados temos):

2x-x+10=x-x+14, (fazendo as operações devidas temos):

X+10=14, (subtraindo 10 em ambos os lados temos):

X+10-10=14-10, (fazendo as operações devidas temos):

X=4, resposta final

EXERCICIOS.

1) Resolver as equações abaixo:

a) 10x + 16 = 14x + 8

b) 2(x -3) = - 3(x - 3)

c) 4(5x -3) - 64(3 -x) - 3(12x - 4) =96

d) 5(x +1) + 6(x + 2) = 9(x + 3)

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

3) Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19.

4) O dobro de um número, mais cinco unidades é 27. Qual é esse número?

5) O triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Qual é esse número?

Equações de 2º Grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.

O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau?

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

4² – 10 * 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

–24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

6² – 10 * 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

– 24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Método de Bhaskara

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)

∆ = b² – 4 * a * c

∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)

∆ = 4 + 12

∆ = 16

2º passo:

x