A RELAÇÃO ENTRE O SILOGISMO DEMONSTRATIVO ARISTOTÉLICO E O MÉTODO DEDUTIVO EUCLIDIANO NA OBRA “OS ELEMENTOS”1

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perguntas relevantes tendem a surgir, tais como: em quem ou em quê Euclides

se baseou para formular sua ordem dedutiva? Por que ele toma como princípio a definição

de ponto e não outra? É possível afirmar que Euclides inaugurou de fato uma nova forma

de apresentar as regras de construção dos objetos?

Para William David Ross (2005) não seria exagero afirmar que a doutrina do

silogismo se deve inteiramente a Aristóteles, que foi provavelmente o primeiro pensador

antigo a destinar um sentido diferente à palavra συλλογισμός (syllogismós) e também uma

explicação geral ao processo de inferência. Outra observação importante de Ross é a de

que Aristóteles se utiliza em diversas partes dos Primeiros Analíticos (ou Analíticos

Anteriores) de uma terminologia que recorre com frequência à matemática – modelo

considerado pelo Estagirita como o de ciência teórica por excelência. “É notório que

Aristóteles representava cada figura do silogismo por diferentes figuras da geometria,

onde as linhas representavam proposições e os pontos os termos” (ROSS, 2005, p. 32-33,

tradução nossa).

2 Segundo Pappus, ao citar Euclides, Apolônio de Perga e Aristeu, o velho: “Análise é o caminho a partir

do que é procurado – considerado como se fosse admitido – passando, na ordem, por suas concomitantes

[consequências], até algo admitido na síntese. Pois na análise supomos o que é procurado como já tendo

sido feito e investigamos aquilo a partir do qual esse algo resulta, e de novo qual é o antecedente deste

último, até que, no nosso caminhar para trás, alcancemos algo que já é conhecido e é o primeiro na

ordem. Na síntese, por outro lado, supomos já feito aquilo que na análise foi por último alcançado e,

arranjando em sua ordem natural, como consequentes aquilo que antes eram antecedentes, e ligando-os

uns aos outros, chegamos no final à construção daquilo que é procurado”.

3 Conforme a tradução para o português do prof. Irineu Bicudo.

Um exemplo dessa apropriação, que segundo Ross não se restringe unicamente à

geometria, mas também à teoria da proporção, pode ser encontrada na formulação das

premissas que representam as várias figuras do silogismo: “‘A predicado de B, B

predicado de C’ (primeira figura), ’B predicado de A, B predicado de C’ (segunda figura),

’A predicado de B, C predicado de B’ (terceira figura)” (2005, p. 33, tradução nossa); além

da analogia que atualmente é conhecida na matemática como progressão, onde “‘A : B =

B : C’, ‘A – B = B – C’”. Ao saltar para os Analíticos Posteriores, David Ross mostra

que o conceito de ciência proposto por Aristóteles se aproxima do que veremos em

seguida em Euclides, onde:

“A ciência assume as definições de todos os seus termos, mas pressupõe

a existência única de seus objetos primários (por exemplo, a aritmética

de unidade e a geometria de magnitude espacial), e prova a existência

de todo o resto” (ROSS, 2005, p. 43, tradução nossa).

No tocante as deduções dos primeiros princípios, Thomas L. Heath (1956) diz,

apoiando-se em Proclus, que o caminho a ser seguido está na divisão entre o que deve ser

estabelecido como anterior e que leva à geração, subtração ou adição de figuras, bem

como apresenta as mudanças e os atributos essenciais de cada uma delas.

Por ora, este trabalho não entrará no debate existente entre os matemáticos gregos

antigos no que concerne à primazia entre problemas e teoremas (e que recai sobre a

precedência de um em relação ao outro), nem tampouco as diversas distinções sobre esses

termos. Vale destacar, porém, que Proclus entende que os Elementos trazem, em parte,

tanto um quanto outro, através de proposições individuais que se encerram com as

afirmações de que era estritamente necessário provar tal conclusão ou demonstração4

.

Diante das considerações apresentadas, é importante esclarecer que o presente

trabalho vai se concentrar especificamente na distinção entre a abordagem teórica de

Aristóteles em relação à ciência, através do silogismo demonstrativo, e o método dedutivo

empregado por Euclides na obra Os Elementos – no que diz respeito à construção dos

objetos geométricos. No tocante a Aristóteles, será destacada a natureza e os possíveis

limites do silogismo demonstrativo, tomando-se como referência a abordagem de Lucas

4 Conforme destaca Heath, Proclus diz que Euclides mescla problemas com teoremas no Livro I, ao passo

que no Livro IV são utilizados somente problemas e no Livro V apenas teoremas.

Angioni em favor da causalidade e que considera que a demonstração proposta pelo

Estagirita não deve ser interpretada como uma teoria axiomatizada.

Quanto à Euclides, será utilizada como referência a