Avaliação da diversidade genética de Brosimum gaudichaudii Trécul

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∙ Sejam u = (a, a) ∈ W2, v = (b, b) ∈ W2 e λ ∈ R;

0 = (1, 1) ∈ W2;

u + v = (a + b – 1, a + b – 1) = (c, c) ∈ W2;

λu = (λa – λ + 1, λa – λ + 1) = (d, d) ∈ W2,

de forma que W2 é também um subespaço vetorial de V.

∙ É imediato que W3 é um subespaço vetorial de V, uma vez que todo conjunto é um subconjunto de si mesmo.

Os subespaços W1 = {0} e W3 = V são ditos subespaços vetoriais triviais de V e W2 é dito um subespaço próprio de V. Na verdade, todo espaço vetorial contém pelo menos dois subespaços, a saber: o subespaço nulo e o próprio espaço, por isto ditos subespaços triviais. Os demais subespaços são ditos próprios.

1.2.3 Exemplo. O espaço vetorial R2 não é subespaço do R3, por que o R2 não é nem mesmo subconjunto do R3; os vetores de R3 têm três componentes, enquanto que os vetores do R2 têm apenas duas componentes. O conjunto S = {(a, b, 0); a, b ∈ R} é um subconjunto do R3 que se “parece” e “age” como o R2.

[pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Temos que S é um subespaço do R3.

Prova.

Sejam u = (a1, b1, 0), v = (a2, b2, 0) ∈ S e α∈R.

- 0 = (0, 0, 0) ∈ S

- u + v = (a1, b1, 0) + (a2, b2, 0) = (a1 + a2, b1 + b2, 0) ∈ S

- αu = α(a1, b1, 0) = (αa1, αb1, 0) ∈S.

∴ S é subespaço do R3.

1.2.4 Exemplos. Subespaços vetoriais do R2:

Exemplo 1. Os subespaços próprios do R2 são do tipo W = {(x, y) / y = ax}, que, geometricamente, representam retas que passam pela origem. De fato, em W = {(x, ax) / x ∈ R} tomemos u = (x1, ax1) e v = (x2, ax2) e seja α ∈ R.

- 0 = (0, 0) ∈ W

- u + v = (x1, ax1) + (x2, ax2) = (x1 + x2, ax1 + ax2) = (x1 + x2, a(x1, x2) ) = (x3, ax3) ∈ W;

- αu = α(x1, ax1) = (αx1, aαx1) = (x4, ax4) ∈ W.

Exemplo 2. Seja, agora, W = {(x, y) ∈ R2 / y = ax + b, b ≠ 0}, que representa, para cada par de números reais a e b, uma reta que não passa pela origem. Temos que W não é um subespaço vetorial de R2 pois 0 = (0, 0) ∉ W.

Exemplo 3. Um caso interessante é tomar W = {(x, y) ∈ R2 / y = x2}, que mesmo contendo o vetor nulo não é subespaço vetorial de R2.

Tomemos, por exemplo,

u = (1, 1) ∈ W

v = (2, 4) ∈ W

u + v = (3, 5) ∉ W.

1.2.5 Exemplos. Subespaços vetoriais de R3.

Exemplo 1. Os triviais: W1 = {(0, 0, 0)} e W2 = R3.

Exemplo 2. Os próprios: retas e planos que passam pela origem, isto é:

W3 = {(x, y, z) / y = ax e z = bx} e W4 = {(x, y, z) / ax + by + cz = 0}.

Para mostrar que W3 é um subespaço vetorial de R3 procedemos como no exemplo 1, item 1.2.4 . Deixamos como exercício.

Para W4, sejam u = (x, y, z) com ax + by + cz = 0, v = (x1, y1, z1) com ax1 + by1 + cz1 = 0 e k ∈ R.

u + v = (x + x1, y + y1, z + z1)

e

a(x + x1) + b(y + y1) + c(z + z1)

= (ax + by + cz) + (ax1 + by1 + cz1)

= 0 + 0

= 0,

de modo que u + v ∈ W4.

ku = (kx, ky, kz)

e

a(kx) + b(ky) + c(kz) = k(ax + by + cz) = k.0 = 0, ou seja, ku ∈ W4.

Exemplo 3. Seja W5 = {(x, y, z) / x + y – z – 2 = 0} um plano em R3. Como W5 não contém a origem, não é subespaço vetorial. Também podemos mostrar que, por exemplo, (1, 1, 0) + (0, 1, – 1) = (1, 2, – 1) ∉ W5 ou

2.(1, 1, 0) = (2, 2, 0) ∉ W5.

Exemplo 4. O subconjunto W6 = {(x, , x) / x ∈ R+} não é um subespaço vetorial de R3, pois

u = (4, 2, 4) ∈ W6 e v = (9, 3, 9) ∈ W6 mas u + v = (13, 6, 13) ∉ W6. ♦

Observemos que 0 = (0, 0, 0) ∈ W6, o que não é suficiente para garantir que W é um subespaço vetorial, é uma condição apenas necessária.

Atividades de Aprendizagem

1.2 Subespaços Vetoriais

- De acordo com a definição, um subespaço vetorial é qualquer subconjunto, não vazio, de um espaço vetorial, onde as operações de adição e produto por escalar continuam preservadas. Como você entende a parte em negrito, dessa frase?

- Pela definição de subconjunto, todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Então, se V é um espaço vetorial, quem é o seu “maior” subespaço vetorial?

- E qual é o “menor” subespaço de um espaço vetorial?

- Os subespaços, conforme 2 e 3 acima, são chamados os subespaços triviais de um espaço vetorial. Escreva na forma de conjunto e apresentando o vetor genérico, os subespaços triviais dos seguintes espaços vetoriais:

4.1)V1 = R2;

4.2) V2 = R3;

4.3) V3 = Rn;

4.4) V4 é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 3;

4.5) V5 é o conjunto de todos os polinômios de grau 3;

- Analise os conjuntos S abaixo e verifique, pela condição do vetor nulo, quais deles não têm chance de ser subespaço vetorial do espaço vetorial