MODELAGEM DO SISTEMA DE GERENCIAMENTO DE UMA REGIÃO PESQUEIRA

...

DESENVOLVIMENTO

Como enunciado anteriormente, a população de peixe cresce exponencialmente com uma taxa de reprodução k e que a pesca é permitida a uma taxa constante e contínua h.

A priori identificamos que com o decorrer do tempo esse sistema está sofrendo variações que são influenciadas pela taxa de crescimento da população e a coleta dos mesmos, descrito pelo seguinte modelo de equação diferencial:

[pic 22]

Podemos observar que a equação (1) é uma equação linear cujo sua forma padrão é:

[pic 23]

onde .[pic 24]

Em que:

k é a taxa de reprodução

h é a taxa de coleta(anual)

P é a população de peixes

Agora vamos em busca da solução geral do sistema, para isso devemos encontrar o fator integrante que é:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Multiplicando a forma padrão da equação pelo fator integrante temos:

[pic 28]

[pic 29]

E por fim integramos ambos os lados da equação (4), segue-se

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Cuja população inicial, ou seja, quando é:[pic 33]

[pic 34]

Agora supondo que a taxa de reprodução seja , a população inicial e a cota de pesca peixes por ano, temos que:[pic 35][pic 36][pic 37]

[pic 38]

Substituindo os dados na equação (6):

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Encontramos a constante .[pic 43]

Depois de encontrado a constante fazendo as substituições das variáveis na equação (5) temos a solução particular deste caso:

[pic 44]

Com a taxa de coleta aludida (), temos que a população de peixes vai crescendo a cada ano já que a mesma é inferior a taxa de reprodução dos peixes, como demostrados no gráfico a seguir: [pic 45]

[pic 46]

Agora se o governo decida que a população de peixe na região pesqueira deva ser mantida constante em 2000 peixes. Para a taxa de reprodução , a taxa de coleta desses peixes devem ser proporcional a essa taxa de reprodução. Sendo assim, o sistema não sofrerá variação na sua taxa de população ou seja a sua derivada é igual a zero:[pic 47]

[pic 48]

Substituindo na equação (1) temos que para e a população a taxa de coleta h será:[pic 49][pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

UMA ANÁLISE NUMÉRICA

Como visto anteriormente a utilização de métodos numéricos é feito para se achar uma aproximação da solução de uma equação diferencial, e que dependendo do método utilizado uns serão mais precisos que os outros.

Aqui abordaremos os resultados dos métodos de Euler e Runge-Kutta, referente a problemática do sistema (7) onde o incremento [pic 53][pic 54]

em 5 passos.

Tabela 1

[pic 55]

Euler

Runge-Kutta

Valor exato

Erro relativo (%)

Euler

Erro relativo (%)

Runge-Kutta

0

2000.0000

2000.0000

2000.0000

0,00

0,0000000

1

2100.0000

2110.7000

2110.7013

0,50

0,0000615

2

2220.0000

2245.9089

2245.9123

1,15

0,0000015

3

2364.0000

2411.0532

2411.0594

1,95

0,0000025

4

2536.8000

2612.7604

2612.7704

2,90

0,0000038

5

2744.1600

2859.1255

2859.1409

4,02

0,0000053

Fonte: O Autor

Mediante a tabela acima podemos observar que o método de Runge-Kutta de quarta ordem é mais preciso do que o método de Euler, essa diferença pode ser notada nos erros relativos referentes