O Pêndulo Simples

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Primeiramente, o experimento foi montado e ajustado no intuito de atender a todas as especificações solicitadas no roteiro. Em seguida, obtiveram-se os valores e incertezas das massas e do fio através da balança de precisão e da régua, respectivamente.

Iniciou-se o experimento com a relação entre o período de oscilação (T) e a amplitude (A):

- Foi fixado uma anilha de aproximadamente 50g na extremidade livre do fio de 80cm de comprimento e a afastou 10cm de sua posição de equilíbrio e liberando logo após, para o sistema oscilar livremente. Com um cronômetro, mediu-se o tempo de 10 oscilações e anotou-se o resultado em uma tabela, Figura 2. Depois, repetiu-se o mesmo procedimento para diferentes amplitudes, sendo elas: 15cm e 20cm. Dividindo o tempo das oscilações por 10 para cada amplitude, encontra-se o valor do período (T), ou seja, é o intervalo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória de uma oscilação.

Amplitude (A)

Tempo de 10 Oscilações (t)

Período (T)

(10,0 ± 0,1) cm

(17,41 ± 0,01) s

(1,741 ± 0,001) s

(15,0 ± 0,1) cm

(17,53 ± 0,01) s

(1,753 ± 0,001) s

(20,0 ± 0,1) cm

(17,77 ± 0,01) s

(1,777 ± 0,001) s

Figura 2. Relação entre o período de oscilação e a amplitude.

Notas:

- Observando os valores da tabela da Figura 2, pode-se notar que os valores do período NÃO VARIAM muito para as diversas variações de amplitude, isso nos permite concluir que o período de oscilação NÃO DEPENDE da amplitude de oscilação.

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- Em seguida, utilizando a mesma massa aumentou-se consideravelmente a amplitude para 80cm, gerando um período de 1,810s. Com esse resultado, comprova que para inclinação de ângulos ou amplitudes pequenas o movimento do pêndulo simples descreve um Movimento Harmônico Simples (MHS), e para amplitudes maiores o movimento torna-se não linear.

- Pela 1ª Lei de Pêndulo Simples o período de oscilação não depende da amplitude (somente para pequenas amplitudes). Essa Lei pode ser representada da seguinte forma:

Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tração sobre o fio e o peso da massa m. Desta forma:

[pic 6]

A componente da força Peso que é dado por Pcosѳ se anulará com a força de tração do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a força restauradora Psenѳ. Então:

[pic 7]

Tal força tem sinal negativo devido à sua ação de tentar manter o corpo em seu estado inicial de repouso, no centro da trajetória descrita pelo movimento. No entanto, o ângulo ѳ, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por L, assim:

[pic 8]

Onde so substituirmos em F:

[pic 9]

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Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS (Movimento Harmônico Simples), já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos pequenos, [pic 10] , o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo. Então, ao considerarmos os casos de pequenos ângulos de oscilação:

[pic 11]

Como P = mg, e m, g e L são constantes neste sistema, podemos considerar que:

[pic 12]

Então, rescrevemos a força restauradora do sistema como:

[pic 13]

Ainda podemos desenvolver a equação F = -Psenѳ da seguinte maneira:

[pic 14]

Para [pic 15] , temos:

[pic 16]

Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenos oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS. Como para qualquer MHS, o período é dado por:

[pic 17]

E como [pic 18], então, o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:

[pic 19] 5

O mesmo procedimento foi repetido, mas desta vez com a relação entre o período de oscilação (T) e a massa do pêndulo (m):

- Montou-se o mesmo sistema, porém houve variação das massas para os seguintes valores aproximados: 50g, 100g e 150g. O movimento desse sistema foi analisado a 15 cm do ponto de equilíbrio e as medidas do tempo de 10 oscilações foram transcritas para a tabela da Figura 3.

Massa (m)

Tempo de 10 Oscilações (t)

Período (T)

(50,10 ± 0,01) g

(17,41 ± 0,01) s

(1,741 ± 0,001) s

(101,78 ± 0,01) g

(17,64 ± 0,01) s

(1,764 ± 0,001) s

(151,83 ± 0,01) g

(17,70 ± 0,01) s

(1,770 ± 0,001) s

Figura 3. Relação entre o período de oscilação e a massa.

Notas:

- Observando a tabela, podemos notar que os valores dos períodos NÃO VARIAM muito para diferentes variações