Projeto por Alocação de Polos
Por: Salezio.Francisco • 18/2/2018 • 928 Palavras (4 Páginas) • 234 Visualizações
...
A condição para que o sistema descrito em (1) seja controlável é que a matriz de controlabilidade dada abaixo seja de posto completo.
[pic 11]
Para ser de posto completo, basta matriz ΦCrt possua todas as colunas linearmente independentes.
No Matlab usamos comando ctrb: CO = ctrb(A,B).
2.3 Observabilidade
Considere o sistema contínuo invariante no tempo descrito na forma de espaço de estado dado por,
[pic 12]
o sistema é dito observável se qualquer estado de x(t0) pode ser determinado a partir da observação de y(t) durante um intervalo de tempo finito t0
As condições para o sistema descrito em (3) ser observável é que a matriz de observabildade descrita abaixo possua posto completo.
[pic 13]
Para ser de posto completo, basta a matriz ΦObs possua todas as colunas linearmente independentes.
No Matlab utilizamos o comando obsv: OB = obsv(A,C).
Caso o sistema seja controlável, podemos alocar os polos de malha fechada em qualquer posição do plano complexo s esquerdo. Neste processo podemos obter um sistema em malha fechada estável e também garantir desempenho transitório e em regime.
A lei de controle de realimentação é dada por,
[pic 14]
então para um sistema dado em (1) temos,
[pic 15]
O sistema em malha aberta e fechada são mostrados a seguir.
[pic 16]
Sistema em malha aberta
[pic 17]
Sistema em malha fechada
3 Metodologia
3.1 Projeto de realimentação de estados
- Verificar se o sistema é controlável. Se o sistema for completamente controlável seguir os próximos passos.
- Utilizando os valores desejados para autovalores (polos de malha fechada desejados), escrever o polinômio característico,
[pic 18]
determinar os valores de α1, α2, α3, ..., αn.
- Igualar,
[pic 19]
e encontrar o valor de Ks que formam o controlador K.
OBS: No Matlab, K = acker(A,B,p). Onde p é o vetor que contém a posição dos polos de malha fechada.
[pic 20]
Diagrama de blocos
3.2 Fórmula de Ackermann
Outro método para projeto do controlador K é o fórmula de Ackermann. Onde temos que,
[pic 21]
sendo Φ o polinômio característico do sistema em malha fechada.
4 Projeto
Para planta cuja função de transferência é
[pic 22]
deseja-se que o sistema de malha fechada tenha polos -1+j e -1-j utilizando a realimentação das variáveis de estado. Determine o vetor dos ganhos.
No Matlab,
[pic 23]
4.1 Função de transferência de malha fechada
[pic 24]
Usando a equivalência com realimentação de saída.
Temos,
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
Vem,
[pic 28]
Assim,
[pic 29]
No Matlab, rlocus(a,b,k,d)
[pic 30]
4.2 Função de transferência equivalente do controlador
Temos,
[pic 31]
[pic 32]
Assim,
[pic 33]
No Matlab,
[pic 34]
4.3 Modelo estado malha fechada
[pic 35]
Script,
[pic 36]
4.4 Correção do erro estacionário
Calcula-se o valor do ganho para corrigir o erro estacionário.
[pic 37]
Tem-se kp = 2 como ganho.
4.5 Erro estacionário corrigido
Script,
[pic 38]
[pic 39]
4.6 Recalculando o ganho a partir da função de transferência
Inclui-se o ganha kp à planta, assim
[pic 40]
No Matlab, atribuindo o valor
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