Exercícios Resolvidos de Cálculo 2

...

[pic 51]

Para obter esse resultado, poderíamos usar a série de Taylor para [pic 52]que está na Tabela 18 -01.

[pic 53]

Bastaria trocar [pic 54]por [pic 55]nesta série:

[pic 56].

Para determinar o intervalo de convergência, fazemos:

[pic 57]

A série é convergente para [pic 58].

Assim, a série de Taylor para [pic 59]é convergente para [pic 60].

Podemos observar, no gráfico abaixo, que os polinômios de Taylor [pic 61], [pic 62], [pic 63], [pic 64]convergem para [pic 65]quando [pic 66] e divergem fora desse intervalo.

[pic 67]

- Use a série binomial com [pic 68] para expandir [pic 69].

Solução

Substituindo [pic 70] por [pic 71]na série [pic 72]da Tabela 18.01 e fazendo [pic 73], temos:

[pic 74]

O termo em [pic 75]e todos os termos seguintes reduzem-se a [pic 76], porque cada coeficiente contém um fator nulo.

Simplificando, obtemos: [pic 77].

- Determine o polinômio de Taylor, em torno de [pic 78], da função [pic 79]que satisfaz o problema de valor inicial [pic 80].

Solução

A série de Taylor para [pic 81] em torno de [pic 82] tem a forma

[pic 83]

A condição inicial [pic 84] nos permite escrever que [pic 85]. Com isso, temos:

[pic 86]

Derivando a série para [pic 87]termo a termo, obtemos:

[pic 88]

Como [pic 89], devemos ter:

[pic 90]

Para que essas séries em cada membro da equação sejam iguais, os coeficientes das potências correspondentes de x devem ser iguais. Por isso, temos:

[pic 91]

Assim, podemos escrever:

[pic 92], para x próximo de [pic 93].

O segundo membro dessa equação pode ser escrito na forma

[pic 94].

Isso nos permite reconhecer a série de Taylor de [pic 95], que é a solução da equação [pic 96].

Desse modo, [pic 97].

- Determine o polinômio de Taylor, em torno de [pic 98], da função [pic 99]que satisfaz o problema de valor inicial [pic 100].

Solução

A série de Taylor para [pic 101] em torno de [pic 102] tem a forma

[pic 103]

A condição inicial [pic 104] nos permite escrever que [pic 105]. Com isso, temos:

[pic 106]

[pic 107]

Além disso, precisamos da série para [pic 108], que é uma série binomial:

[pic 109]

Assim, substituindo os membros da equação dada pelas respectivas séries, temos:

[pic 110]

Igualando os coeficientes, temos:

[pic 111]

Com isso, podemos afirmar que a solução da equação é aproximada por:

[pic 112] para [pic 113] próximo de [pic 114].

- Um dipolo elétrico consiste em duas cargas elétricas de módulos iguais e sinais opostos. Se as cargas [pic 115] e [pic 116] estiverem localizadas a uma distância [pic 117], então o campo elétrico [pic 118] no ponto [pic 119] da figura é [pic 120].

[pic 121]

Expandindo essa expressão para [pic 122] como uma série de potências de [pic 123], mostre que [pic 124] é aproximadamente proporcional a [pic 125] quando [pic 126] está muito distante do dipolo.

Solução

Para usar uma aproximação em série, precisamos escolher uma variável cujo valor seja bem pequeno. No caso, podemos considerar que [pic 127] é muito menor que [pic 128] e, desse modo, a grandeza [pic 129] é bem pequena, muito menor que [pic 130]. A partir dessa constatação, podemos expandir [pic 131]em termos de [pic 132]e considerar apenas os primeiros termos.

[pic 133]

Assim,