Cálculo 1 - Resumo Esboço Curvas

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x = 2 , x = ½ (7-3√5) ≈ 0,1459, x = ½ (7+3√5) ≈ 6,8541

- A curva corta o eixo x nos pontos (2,0), (0,1459;0) e (6,8541;0)

C. Simetria – não há simetria.

D. Assíntotas

- Não há assíntota horizontal

- Não há assíntota vertical

E. Valores Máximos e Mínimos Locais

Vamos procurar os pontos críticos de f (valores de c onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe).

f’(x) = -3x²+18x-15

Raízes: x = 1 e x = 5.

Calculando a primeira derivada em pontos antes e depois das raízes, podemos verificar se as raízes encontradas são valores máximos e mínimos locais. Caso a derivada mude de sinal em c, o mesmo é um máximo ou mínimo local.

f’(x) = -3x²+18x-15

f’(0) = -3(0)²+18(0)-15 = -15 e f’(2) = -3(2)²+18(2)-15 = 9

- O ponto onde x = 1 será um mínimo local.

f’(4) = -3(4)²+18(4)-15 = 9 e f’(6) = -3(6)²+18(6)-15 = -15

- O ponto onde x = 5 será um máximo local.

Como os pontos encontrados são os únicos valores máximos e mínimos locais da função, os mesmos serão os valores máximos e mínimos absolutos.

F. Intervalo de Crescimento e Decrescimento

Aplicando o Teste da Primeira Derivada em pontos antes e depois das raízes de f’, podemos definir os intervalos de crescimento e decrescimento.

f’(x) = -3x²+18x-15

f’(0) = -3(0)²+18(0)-15 = -15 e f’(2) = -3(2)²+18(2)-15 = 9

f’(4) = -3(4)²+18(4)-15 = 9 e f’(6) = -3(6)²+18(6)-15 = -15

Como há mudança de negativo para positivo no ponto c=1 e de positivo para negativo no ponto c=5, podemos ver que a equação será decrescente de (-∞,1) U (5,∞) e crescente de (1,5).

G. Concavidade e Ponto de Inflexão

f’’(x) = -6x+18

Como f’’(x) > 0 em (-∞,3), a curva será côncava para baixo em (-∞,3). Também temos que f’’(x) < 0 em (3,∞), e com isso a curva passará a ser côncava para cima em (3,∞).

O ponto de inflexão ocorrerá em x = 3, pois será o ponto onde a curva mudará o sentido da sua concavidade.

H. Esboço da Curva

A partir das informações encontradas nos itens A a G, podemos então esboçar a curva da equação y = -x³+9x²-15x+2. Marcando os pontos encontrados e conhecendo os intervalos de crescimento e decrescimento, chegaremos no gráfico abaixo.