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- EMBASAMENTO TEÓRICO

Um sistema de partículas é definido por um conjunto de N objetos pontuais que interagem entre si, com suas massas e velocidades respectivas (NUSSENZVEIG, 2002).

Para desenvolver análises e cálculos físicos, o sistema é representado por uma única partícula, o chamado centro de massa, que segundo Halliday (2012), define-se como um ponto que atua como se toda a massa do sistema estivesse concentrada neste ponto, e as forças atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente neste mesmo ponto.

O centro de massa pode estar dentro ou fora do sistema mecânico, pois sua localização depende não só da posição, mas também da inércia de cada partícula constituinte. (NUSSENZVEIG, 2002)

A formulação para determinar a posição do centro de massa, pode ser extraída da aplicação das leis da mecânica tanto para um conjunto de partículas do sistema como para seu equivalente Centro de Massa. Mecanicamente, uma força externa resultante irá atuar e, no caso de um conjunto de partículas, essa força será distribuída entre as partículas constituintes, alterando o momento total de cada uma. Porém, ao avaliar a partícula representativa Centro de Massa, a força externa irá mudar a quantidade total de movimento. A atuação da força externa pode ser demonstrada pela Equação 01.

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(01)

Segundo Nusseinzveig (2002), a posição do centro de Massa surge a partir de um sistema estacionário, ou em equilíbrio de forças, o qual implica a lei de conservação de momentum, ou seja, em um sistema de N partículas, o momento linear total é igual à soma dos momentos lineares de cada partícula contida no sistema, como demonstrado na Equação 02. Essa conservação do momento se dá em sistemas isolados em que o somatório das forças externas é nula, pela não consideração da atuação do meio externo. Assim, a conservação do momento total ocorre ao aparo da Primeira Lei de Newton, a qual enuncia que o estado de movimento permanece invariante quando a força resultante é nula.

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(02)

Sendo o momento igual ao produto entre a velocidade e a massa da partícula, e M como sendo o somatório das massas individuais das partículas, tem-se segundo a Equação 02:

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(03)

Considerando a massa constante dentro do sistema em certo intervalo de tempo e a velocidade como sendo uma função da posição pelo tempo pode-se manipular a expressão 03, nas Equações 04 e 05 respectivamente.

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(04)

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(05)

Desta forma conclui-se que a posição do centro de massa é dada pela Equação 05.

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(06)

Com as formulações na determinação do vetor posição do centro de massa é possível perceber que existem partículas de variadas massas e posições, porém a partícula mais massiva tem influência maior na atração para próximo de si o ponto de centro de massa.

Em casos onde o número de partições N for muito grande, ou seja, as partições forem infinitas de modo que a massa possa ser considerada uma fração muito pequena se comparado com a massa total, a forma correta do centro de massa a ser calculado é expresso na Equação 06.

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(07)

Como a densidade depende da posição, pode-se transformar o diferencial de massa em diferencial de volume, como expresso pela Equação 08.

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(08)

Assim, como o diferencial será de volume, a integral considerada deve ser a tripla, como expresso pela Equação 09.

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(09)

No caso em que a densidade seja uniforme, ou seja, que não dependa da posição tem-se um novo rearranjo da integral expresso pela Equação 10.

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(10)

Toda medida experimental envolve algum erro de medida. Assim, para encontrar a posição do centro massa devem ser considerados os erros sistemáticos e os erros aleatórios. Pela definição de SKOOG, et. al.(2006), o erro chamado aleatório (ou indeterminado), faz que os dados se distribuam de forma mais ou menos simétrica em torno do valor médio. Por outro lado o erro sistemático (ou determinado) faz que a média de um conjunto de dados seja diferente do valor aceito.

2.1 Determinação experimental do cento de massa

2.1.1 Método da Suspensão

Para casos simples, como um corpo plano bidimensional, é possível determinar seu centro de massa da seguinte maneira: pendura-se este corpo por um ponto qualquer e traça-se uma linha vertical passando pelo ponto ao qual o corpo está pendurado. Realiza-se o procedimento em duplicata. A intersecção das duas linhas é o centro de massa, como pode ser observado na Figura 01.

O experimento realizado é apoiado na força gravitacional onde a direção é normal à superfície terrestre. Quando o corpo está em repouso, obtém-se a linha de atuação da força gravitacional resultante, que age sobre o copo como um todo. Basta repetir o processo para outro ponto qualquer para determinar o ponto. O processo é análogo para um corpo tridimensional, porem para três pontos diferentes situados em dois planos distintos. Nota-se que embora o experimento utilize a força gravitacional, onde obtêm-se o centro de massa geométrico e, mesmo que as linhas de atuação sejam obtidas em campos gravitacionais diferentes, o ponto resultante será o mesmo, devido a direção dos campos gravitacionais ser sempre normal à superfície da Terra.

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Figura 01. Centro de massa de corpo plano bidimensional.

- Método da Prancha de Reação

Esse método utilizado para determinação do Centro