Taxas em matemática financeira

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Exemplo:

Um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em:

[pic 17]

bem como esta outra fórmula equivalente

[pic 18]

, onde:

[pic 19] Valor da parcela

[pic 20] Valor Presente

[pic 21] Taxa de juros

[pic 22] Número de períodos

No caso do exemplo, o cálculo da parcela [pic 23] é:

[pic 24]

Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (1.000,00 - 760,97) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.

[pic 25]

Sistema de amortização constante (SAC)

É feito a partir de um empréstimo com n prestações essas são decrescentes, seu valor diminui conforme as parcelas são pagas, os juros são decrescentes e as amortizações são constantes e iguais. Nesse caso os juros decrescem e a amortização sempre é do mesmo valor, o valor das parcelas decrescerem por causa da diminuição dos juros.

Exemplo:

Um empréstimo de $ 120.000,00 (cento e vinte mil) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês (em juros simples), portanto, o valor da amortização é constante a cada mês, sendo neste caso:

[pic 26].

Logo, a tabela SAC fica:

[pic 27]

Note que o juro é sempre 1% do saldo devedor do mês anterior, e a prestação é a soma da amortização acrescida do valor de juro mensal devido sobre o saldo devedor. Sendo assim, o juro é decrescente e diminui sempre com mesmo valor de $ 100,00. O mesmo comportamento têm as prestações. A soma das prestações é de $ 127.800,00. Gerando juros de $ 7.800,00.

Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem na progressão aritmética (PA) em [pic 28]·.

Fórmulas

Sendo que:

[pic 29] Valor total do financiamento

[pic 30] Quantidade de períodos

[pic 31] Taxa de juros

[pic 32] Valor de Amortização Constante

[pic 33] Período

[pic 34] Valor de decréscimo constante de juros a cada período

[pic 35] Valor dos juros referente ao período [pic 36]

[pic 37] Prestação (Amortização + Juros do período)

Temos que:

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40] ou [pic 41]

[pic 42] ou [pic 43]

Aplicando as fórmulas ao exemplo

Tendo como base a Tabela SAC do tópico anterior, algumas questões para aplicação das fórmulas.

Total de juros no 5º período:

Usando a fórmula mais completa.

[pic 44], então, [pic 45]

Usando o valor de decréscimo [pic 46].

[pic 47], então, [pic 48]

Perceba que [pic 49] é valor de juros pago no primeiro período, isto é, [pic 50].

Parcela paga no 5º período:

[pic 51], então, [pic 52]

Parcela paga no último período:

O valor da parcela paga no último período sempre será a Amortização + Decréscimo constante([pic 53]) de juros a cada período, conforme a fórmula:

[pic 54], então, [pic 55]

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Referências Bibliográficas

FRANCISCO, Walter de. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas S.A., 1988

NOÉ, Marcos: Taxa nominal e taxa real de juros. Disponível em: www.brasilscola.com> Acesso em: 29 de agosto de 2015.

Relação entre Juros e Progressões. Disponível em: www.somatematica.com.br> Acesso em: 29 de agosto de 2015.

STIELER, Eugênio Carlos. Equivalências de Taxas. Disponível em:www2.unemat.br> Acesso em: 29 de agosto de 2015.

LACERDA, Ricardo: Taxa Proporcional e Taxa Equivalente – Juros Simples. Disponível em: www.mathfinanceira.wordpress.com> Acesso em: 29 de agosto de 2015.

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SODRÉ,